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148 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Ker(A− αI) = {(x, y, z) | αy = 0, αx+ αy − αz = 0} = [(1, 0, 1)].
Una base de vectores propios es pues
{(1,−1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)}
y la matriz de la aplicación en dicha base es
Dα =
0 0
α
 .
Observamos que la forma diagonal Dα es para todo α.
— — —
14. Sea f el endomorfismo de R[t] definido por
f(p(t)) = tp′′(t) + t2p′′′(t)
a) Probar que R3[t] = {p(t) ∈ R[t] | gr p ≤ 3} es un subespacio invariante por f .
b) Encontrar la matriz de f|R3[t] en la base (1, t, t
2, t3) de R3[t].
c) Estudiar la diagonalización del endomorfismo anterior.
Solución:
a) Sea p(t) = aa + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ R3[t], miremos si f(p(t)) ∈ R3[t]
p′(t) = a1 + 2a2t+ 3a3t
2
p′′(t) = 2a2 + 6a3t
p′′′(t) = 6a3
Por lo tanto f(p(t)) = 2a2t + 6a3t
2 + 6a3t
2 = 2a2t + 12a3t
2 ∈ R3[t] y el subespacio
es invariante.
Podemos restringir pues la aplicación a este subespacio que es de dimensión finita.
b) Escribamos la matriz de la aplicación restricción en esta base
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A =

0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 12
0 0 0 0
 .
c) Observamos que la imagen de un polinomio de grado n ≥ 2 es un polinomio de
grado uno inferior, por lo que ningún polinomio de grado mayor o igual a dos puede
ser vector propio.
Los polinomios de grado menor o igual a 1 son del núcleo de la aplicación, son pues
los únicos vectores propios (de valor propio cero) del endomorfismo.
— — —
15. Encontrar los valores propios y los vectores propios del endomorfismo f de R3
cuya matriz en una base d’R3, es
M =
 a −a a−a a −a
a −a a
 a ∈ R ; a 6= 0 .
Solución:
Observamos que al ser a 6= 0, el rango de la matriz M es uno, por tanto 0 es valor
propio de multiplicidad por lo menos dos. La invariancia de la traza de la matriz nos
dice que el tercer valor propio es 3a 6= 0. Por lo que el endomorfismo diagonaliza.
Busquemos los vectores propios
KerA = {(x, y, z = ax− ay + az = 0} = [(1, 1, 0), (1, 0,−1)],
Ker(A− 3aI) = {(x, y, z) | −2ax− ay + az = 0,−ax− 2ay− az = 0} = [(1,−1, 1)].
— — —
16. ¿Para que valores de las constantes a, b, c, d, e y f , la matriz
A =
1 a d2 b e
3 c f

150 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
tiene como vectores propios (1, 0, 1), (−1, 1, 0) y (0, 1,−1)?
Solución:
Obliguemos a que estos vectores sean propios
1 a d2 b e
3 c f
1 −1 00 1 1
1 0 −1
 =
λ1 −λ2 00 λ2 λ3
λ1 0 −λ3

Por lo que1 a d2 b e
3 c f
 =
λ1 −λ2 00 λ2 λ3
λ1 0 −λ3
1 −1 00 1 1
1 0 −1
−1 =λ1 −λ2 00 λ2 λ3
λ1 0 −λ3
 12 12 12−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
 =
 λ12 + λ22 λ12 − λ22 λ12 − λ22−λ2
2
+ λ3
2
λ2
2
+ λ3
2
λ2
2
− λ3
2
λ1
2
− λ3
2
λ1
2
− λ3
2
λ1
2
+ λ3
2

Tenemos pues
λ1 + λ2 = 2
−λ2 + λ3 = 4
λ1 − λ3 = 6

Esto es, los valores propios posibles son los siguientes relación:
λ1 = 6
λ2 = −4
λ3 = 0
Por lo tanto, los valores de los parámetros son:1 a d2 b e
3 c f
 =
1 5 52 −2 −2
3 3 3

— — —