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16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
p(t) = (t− 2)(t4 + (2 + a)t3 + (11 + 2a)t2 + (20 + 4a)t+ 44 + 8a) + 80 + 16a
luego para que el polinomio sea múltiplo de t− 2 ha de ser 80 + 16a = 0. De lo que
deducimos que a = −5
En cuyo caso aplicando Ruffini de nuevo y tomando a = −5,
1 -3 1 0 4
2) 2 -2 -2 -4
1 -1 -1 -2 (0
2) 2 2 2
1 1 1 (0
concluimos que
p(t) = (t− 2)3(t2 + t+ 1).
Estudiemos el polinomio q(t).
Al igual que para p(t), aplicamos Ruffini para t = 2
q(t) = t2((t− 2)(t2 − 4t+ a− 8) + 2a− 24)
luego para que el polinomio sea múltiplo de t− 2 ha de ser 2a− 24 = 0 y, por tanto,
a = 12.
En cuyo caso y aplicando Ruffini de nuevo y tomando a = 12, observamos que
q(t) = t2(t− 2)3.
— — —
11. Para qué valor de la constante a ∈ R el polinomio p(t) = t4− at+ 1 es múltiplo
del polinomio q(t) = t2 − t+ a?
Solución:
t4 − at+ 1 = (t2 − t+ a)(t2 + t+ 1− a) + (1− 3a)t− a+ a2 + 1
Para que el polinomio t4 − at+ 1 sea múltiplo de t2 − t+ a ha de ser:
(1− 3a)t− a+ a2 + 1 = 0
por lo que
1− 3a = 0
−a+ a2 + 1 = 0
}
sistema incompatible
17
Es decir, no existe ningún valor de a para el cual, el polinomio p(t) = t4 − at+ 1 es
múltiplo del polinomio q(t) = t2 − t+ a.
— — —
12. Determinar el polinomio mónico p(t) ∈ R[t] de grado 5 que verifica que 2 es ráız
doble de p(t), p(0) = p′(0) = 0 y p(3) = 2.
Solución:
(t− 2)2 es factor de p(t).
p(0) = p′(0) = 0 luego t2 es factor de p(t).
Puesto que p(t) es mónico y de grado 5, p(t) = t2(t− 2)2(t− a)
Obliguemos ahora a que p(3) = 2
p(3) = 32(3− 2)2(3− a) = 2 por lo que a = 25
9
.
— — —
13. Encontrar un polinomio mónico de grado 5 tal que p(0) = 10, y p′(t) tiene a 1
como ráız simple y a -2 como ráız triple.
Solución:
p(t) = t5 + a4t
4 + a3t
3 + a2t
2 + a1t+ a0
Puesto que p(0) = 10 tenemos que a0 = 10.
puesto que p′(t) tiene a 1 como ráız simple y a -2 como ráız triple ha de ser
p′(t) = λ(t− 1)(t+ 2)3 = λ(t4 + 5t3 + 6t2 − 4t− 8)
pero
p′(t) = 5t4 + 4a4t
3 + 3a3t
2 + 2a2t+ a1
por lo que
λ = 5, a4 =
25
4
, a3 = 10, a2 = −10, a1 = −40
18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
y
p(t) = t5 +
25
4
t4 + 10t3 − 10t2 − 40t+ 10.
— — —
14. Determinar el valor de a para el cual, los polinomios de R[t] p(t) = t2−(3+a)t+3a
y q(t) = t2 − 4t+ 4 tengan una ráız común.
Solución:
Observamos que q(t) = (t − 2)2 por lo que, para que los polinomios dados tengan
una ráız en común, 2 ha de ser ráız de p(t).
Aplicando Ruffini para t = 2 al polinomio p(t) tenemos
1 -(3+a) 3a
2) 2 -2-2a
1 -1-a (-2+a
por lo que 2 es ráız de p(t) si y sólo si −2 + a = 0. Esto es
a = 2.
— — —
15. Sea p(t) ∈ R[t]. Si el resto de dividir p(t) por (t+ 1) es 3, por (t− 3) es 4, ¿Cuál
es el resto de dividir p(t) por t2 − 2t− 3?
Solución:
Por las leyes de la divisibilidad sabemos que
p(t) = (t+ 1)q1(t) + 3
p(t) = (t− 3)q2(t) + 4
p(t) = (t2 − 2t− 3)q3(t) + (at+ b) = (t+ 1)(t− 3)q3(t) + (at+ b)
Esto es
p(−1) = 3 = −a+ b
p(3) = 4 = 3a+ b
}