Herramientas algenbra lineal (7)

Vista previa del material en texto

19
Resolviendo este sistema, tenemos a =
1
4
t, b =
13
4
, es decir
at+ b =
1
4
t+
13
4
.
— — —
16. Calcular el resto de dividir por t−1 el polinomio p(t) = tn+(n−1)tn−1 + tn−2 +
(n− 3)tn−3.
Solución:
p(t) = (t− 1)q(t) + a
por lo que p(1) = a = 1 + (n− 1) + 1 + n− 3 = 2n− 2
a = 2n− 2.
— — —
17. Determinar las ráıces reales y dar la descomposición en factores irreducibles de
los polinomios de R[t] siguientes a R[t] y C[t]: (a) p1(t) = t3 + t2 − 8t − 12 (b)
p2(t) = t
5 − 5t4 + 7t3 − 2t2 + 4t− 8.
Solución:
a) Apliquemos Ruffini
1 1 -8 -12
-2) -2 2 12
1 -1 -6 (0
-2) -2 6
1 -3 (0
Por lo que
p1(t) = (t+ 2)
2(t− 3)
tanto en R como en C.
b) Apliquemos de nuevo, Ruffini
20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
1 -5 7 -2 4 -8
2) 2 -6 2 0 8
1 -3 1 0 4 (0
2) 2 -2 -2 -4
1 -1 -1 -2 (0
2) 2 2 2
1 1 1 (0
El polinomio t2 +t+1 es primo en R, no aśı en C cuya descomposición es t2 +t+1 =
(t− −1 +
√
3i
2
)(t− −1−
√
3i
2
)
Por lo tanto
p2(t) = (t− 2)3(t2 + t+ 1) en R,
p2(t) = (t− 2)3(t−
−1 +
√
3i
2
)(t− −1−
√
3i
2
) en C.
— — —
18. Determinar el desarrollo de Taylor del polinomio p(t) = t5− 3t3 + 5 en el punto
t = 1. Utilizar este desarrollo para determinar el resto de la división de p(t) por t−1
y por (t− 1)2.
Solución:
p(t) = p(1)+p′(1)(t−1)+ p
′′(1)
2!
(t−1)2 + p
′′′(1)
3!
(t−1)3 + p
iv(1)
4!
(t−1)4 + p
v(1)
5!
(t−1)5
Calulemos pues pi(1)
p(1) = 3
p′(t) = 5t4 − 9t2 ⇒ p′(1) = −4
p′′(t) = 20t3 − 18t ⇒ p′′(1) = 2
p′′′(t) = 60t2 − 18 ⇒ p′′′(t) = 42
piv(t) = 120t ⇒ piv(1) = 120
pv(t) = 120 ⇒ pv(1) = 120
21
por lo tanto
p(t) = 3− 4(t− 1) + (t− 1)2 + 7(t− 1)3 + 5(t− 1)4 + (t− 1)5.
Observamos que
p(t) = 3− (t− 1)(4 + (t− 1) + 7(t− 1)2 + 5(t− 1)3 + (t− 1)4)
por lo que
p(t) = (t− 1)c1(t) + 3,
p(t) = 3− 4(t− 1) + (t− 1)2(1 + 7(t− 1) + 5(t− 1)2 + (t− 1)3)
por lo que
p(t) = (t− 1)2c(t) + 3− 4(t− 1) = (t− 1)2c2(t)− 4t+ 4.
— — —
19. Factoritzar como producto de polinomios primos en Q[t], R[t] y C[t] respectiva-
mente, el siguiente polinomio: p(t) = t4 − t2 − 2.
Solución:
Llamemos t2 = y, por lo que tenemos un polinomio de segundo grado en la variable
y: y2− y− 2 que sabemos descomponer en C determinando las ráıces de la ecuación
subyacente y2 − y − 2 = 0.
y =
1±
√
1− 4(−2)
2
=
{
y1 = 2,
y2 = −1.
Por lo tanto el polinomio y2 − y − 2 descompone en
y2 − y − 2 = (y − 2)(y + 1).
Susituyendo de nuevo y por t2 tenemos