Apuntes algebra lineal y geometria vega (9)

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1.2. SUBESPACIOS VECTORIALES. COMBINACIONES LINEALES. 5
Ejercicio 1.1.1.3
En el R-espacio vectorial M2⇥3(R) de las matrices de tamaño 2 ⇥ 3 (dos filas y tres columnas) con
coeficientes reales se consideran los siguientes elementos:
A =
✓
1 2 3
3 2 1
◆
B =
✓
�1 �2 �3
�3 �2 �1
◆
C =
✓
1 0 0
1 1 1
◆
D =
✓
2 2 3
4 3 2
◆
Señalar, justificando la respuesta, cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas.
1. La matriz B es la opuesta de la matriz A y A+ (�B) + 2C = 2D.
2. Existen números reales ↵ y � ambos no nulos tales que ↵A = �D.
3. Si ↵B + �C = D, entonces � = �↵ = 1.
Determina el vector v = 3A�B + 1
2
C + 2D, aśı como un vector w tal que v + 3w = A.
1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales.
Definición 1.2.1
Se dice que un subconjunto no vaćıo U de un K–espacio vectorial V es un subespacio vectorial si U
con las operaciones de V es también un K–espacio vectorial.
Los subespacios vectoriales admiten la siguiente caracterización.
Proposición 1.2.1
Un subconjunto no vaćıo U de un K–espacio vectorial V es un subespacio vectorial si y sólo si para
todo a1 y a2 en K y para todo u1 y u2 en U se tiene:
a1u1 + a2u2 2 U.
Ejemplo 1.2.1
Se muestran a continuación algunos ejemplos de subconjuntos de un espacio vectorial que son (o no)
subespacios vectoriales.
• El conjunto de los vectores (x, y) en R2 verificando x + 2y = �1 no es un subespacio vectorial
de R2 como R–espacio vectorial. Śı es subespacio vectorial el conjunto de los vectores (x, y)
verificando x+ 2y = 0.
• El conjunto de los vectores (x, y, z) en R3 verificando que x + y + z = 1 no es un subespacio
vectorial de R3 como R-espacio vectorial.
• El conjunto de los vectores (x, y, z) en R3 verificando que x+y+z = 0 es un subespacio vectorial
de R3 como R-espacio vectorial.
• El conjunto de las matrices diagonales con 5 filas y 5 columnas es un subespacio vectorial de
M5,5(R) como R-espacio vectorial.
• El conjunto de los polinomios en K[x] de grado menor o igual que 3 es un subespacio vectorial
de K[x] como K-espacio vectorial.