Apuntes algebra lineal y geometria vega (10)

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6 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
Figura 1.2: No todas los subconjuntos de R2 son subespacios
• El conjunto de los polinomios en K[x] de grado igual a 3 no es un subespacio vectorial de K[x]
como K-espacio vectorial.
• El conjunto U = {(x, y, z) 2 Q3 : x < 0} no es un subespacio vectorial del Q-espacio vectorial
Q3.
• En el R-espacio vectorial V = {f :R ! R : f es aplicación}, el conjunto W formado por aquellas
aplicaciones de V que verifican 2f(0) = f(1) es un subespacio vectorial de V .
Con el fin de construir de forma sencilla subespacios vectoriales se introduce a continuación la
definición de combinación lineal. Esto permitirá establecer la definición de subespacio generado por
una familia de vectores.
Definición 1.2.2
Sea V un K–espacio vectorial y u, u1, . . . , um vectores de V . Se dice que u es una combinación lineal
de los vectores u1, . . . , um si existen a1, . . . , am en K tal que
u = a1u1 + a1u2 + . . .+ amum
Es inmediato que si u es combinación lineal de los vectores u1, . . . , um, y cada uno de éstos es combi-
nación lineal de los vectores w1, . . . , wl, entonces u es combinación linel de los vectores w1, . . . , wl.
Definición 1.2.3
Sea V un K–espacio vectorial y S = {u1, . . . , um} una familia de vectores de V . Se define hSi como el
subconjunto de V formado por todos aquellos vectores de V que son combinación lineal de los vectores
u1, . . . , um.
Observar que:
1. Puesto que la combinación lineal de dos elementos en hSi es también una combinación lineal
de los vectores de hSi, de acuerdo con la proposición 1.2.1, se tiene que hSi es un subespacio
vectorial de V .
2. Se tiene asimismo que hSi coincide con la intersección de todos los subespacios de V que contienen
a S