Apuntes algebra lineal y geometria vega (19)

Vista previa del material en texto

1.3. INDEPENDENCIA LINEAL. BASES. 15
Sea V un K–espacio vectorial y S1 = {u1, . . . , um} y S2 = {w1, . . . , wn} bases de V . Aplicando
el teorema 1.3.1 a S1 como sistema generador de V y a S2 como familia libre se obtiene que n 
m. Rećıprocamente, intercambiando los papeles de S1 y S2, obtenemos m  n. Con esto queda
demostrado el siguiente teorema, que motiva la definición de dimensión de un espacio vectorial de tipo
finito.
Teorema 1.3.3
En un K-espacio vectorial de tipo finito V todas las bases poseen el mismo número de elementos. Se
define, por ello, la dimensión de V , dim(V ), como el número de elementos en una base cualquiera
de V .
Aśı, como K–espacios vectoriales, se tiene que dim(Kn) = n, dim(Mn,m(K)) = nm y dim(Kn[x]) =
n+ 1.
La siguiente proposición, de nuevo consecuencia del teorema 1.3.1, muestra cómo el conocimiento
de la dimensión de un espacio vectorial simplifica la caracterización de sus bases.
Proposición 1.3.3
Sea V un K-espacio vectorial de tipo finito y dim(V ) = n.
1. Si V = h{u1, . . . , um}i entonces n  m.
2. Si u1, . . . , um son linealmente independientes entonces m  n.
3. Si V = h{u1, . . . , un}i entonces {u1, . . . , un} es una base de V .
4. Si u1, . . . , un son linealmente independientes entonces {u1, . . . , un} es una base de V .
De acuerdo con los apartados 2 y 3 de la proposición anterior si un conjunto de m vectores de
V linealmente independientes no es una base de V entonces m < dim(V ). El Teorema de la Base
Incompleta muestra cómo esta familia de vectores puede extenderse a una base de V .
Teorema 1.3.4 (Teorema de la Base Incompleta)
Sea V un K-espacio vectorial y B = {v1, . . . , vn} una base de V . Si w1, . . . , wm son vectores de V
linealmente independientes entonces existen n � m vectores, vi1 . . . , vin�m, en B tal que la familia
{w1, . . . , wm, vi1 . . . , vin�m} es una base de V .
Es una consecuencia obvia que los subespacio de un espacios vectorial de tipo finito también son de
tipo finito. Además, como consecuencia inmediata del Teorema de la Base Incompleta (teorema 1.3.4)
se tiene que la dimensión de un subespacio siempre es menor o igual que la dimensión del espacio
vectorial en el que se encuentra. Todo esto se recoge en la siguiente proposición.
Proposición 1.3.4
Sea V un K-espacio vectorial y U un subespacio vectorial de V . Entonces U es un K–espacio vectorial
de tipo finito y, además, dim(U)  dim(V ). Si dim(U) = dim(V ), entonces U = V .
1.3.1 Ejercicios
Ejercicio 1.3.1.1
Sean v1 = (0, 1, 1, 0) y v2 = (1, 0, 0, 1) dos vectores de R4.
1. Demostrar que v1 y v2 son linealmente independientes.