Apuntes algebra lineal y geometria vega (27)

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1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 23
Ejercicio 1.4.1.5
Sea U el siguiente subespacio de R5:
U = {(x, y, z, t, u) 2 R5 : x+ y + z = 0, t+ u = 0}.
¿Cuáles de los subespacios Wi siguientes satisfacen la condición
U �Wi = R5?
1. W1 = {(x, y, z, t, u) 2 R5 : x+ y + z + t+ u = 0}.
2. W2 = h{(1, 0,�2, 1, 0), (0, 1, 0, 3,�4)}i.
3. W3 = {(x, y, z, t, u) 2 R5 : x+ 2y = 0, z = u = 0}.
Ejercicio 1.4.1.6
Sea U el siguiente subespacio del R-espacio vectorial R4:
U = {(x, y, z, t) 2 R4 : x+ 2y = 0, 3z � t = 0}.
¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas?
1. Si W1 = h{(1, 1, 1, 1)}i, entonces la suma de U y W1 es directa: U �W1.
2. Si W2 = h{(�2, 1, 1, 3)}i, entonces W2 está contenido en U : W2 ⇢ U .
3. W3 = {(x, y, z, t) 2 R4 : x+ 2y = 0}, entonces U \W3 = U .
4. W4 = {(x, y, z, t) 2 R4 : x+ y + z = 0, t = 0}, entonces U �W4 = R4.
Ejercicio 1.4.1.7
En el R-espacio vectorial V = R5 se consideran los siguientes subespacios
U = h{(1, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1)}i
W = {(x, y, z, t, u) 2 V : x+ 2y � 3u = 0, 2y � t� u = 0, x+ y � z � t = 0}
1. Determinar bases de U \W y U +W .
2. ¿Es U +W = V ? En caso negativo, dar un subespacio T de V tal que V = (U +W )� T
3. Sea v = (x, y, z, t, u) un vector cualquiera de V . Determinar las coordenadas de v respecto de la
siguiente base de V .
BV = {(1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1), (3, 0, 4,�1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}
Ejercicio 1.4.1.8
Sea U y W los siguientes subespacios del espacio vectorial real R454:
U = {(x1, x2, . . . , x454) 2 R454 : x1 + x2 + . . .+ x454 = 0}
W = {(x1, x2, . . . , x454) 2 R454 : x1 = x2 = . . . = x454}
T = {(x1, x2, . . . , x454) 2 R454 : x1 + x2 = 0, xi = 0 i = 3, 4, . . . , 454}