Apuntes algebra lineal y geometria vega (29)

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1.5. PROBLEMAS DE ESPACIOS VECTORIALES 25
1.5 Problemas de Espacios Vectoriales
Problema 1.5.1
Sea Q el cuerpo de los números racionales. ¿Cúales de los siguientes subconjuntos del Q–espacio
vectorial Q3 son subespacios vectoriales?
a) R = {(x, y, z) 2 Q3 : 3x� 8y = 0}.
b) S = {(x, y, z) 2 Q3 : 3x� 8y = 4}.
c) T = {(x, y, z) 2 Q3 : x 2 Z+ ó x 2 Q�}.
Problema 1.5.2
Sea V un K-espacio vectorial no nulo, donde K = Q, R o C.
a) Demuestra que V posee un no¯ infinito de vectores.
b) Sea {u, v} una familia libre de vectores de V y a, b 2 K con b 6= 0. Prueba que la familia
{bu, au+ v} es también libre.
c) Sean u, v, w vectores de V linealmente independientes Prueba que también u+v, u�v, u�2v+w
son linealmente independientes.
d) Para V = R3 y K = R, estudia si cada uno de los conjuntos de vectores siguientes es un sistema
libre o un sistema dependiente:
S = {(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)}
T = {(3, 2, 1), (1,�3, 2), (�1,�2, 3)}
e) Para V = C3 y K = C, estudia si cada uno de los conjuntos de vectores siguientes es linealmente
dependiente o independiente:
S = {(1, 0,�i), (0, i,�1), (i, 1, 1 + i)}
T = {(1, i,�i), (0, 1, 1 + 2i), (1, 1 + i,�1)}
Problema 1.5.3
Prueba que la familia {1 +X,X +X2, 1 +X2} es un sistema generador libre de
Q2[X] = {p(X) 2 Q[X] : grado(p(X))  2}
Escribe 3 + 2X + 5X2 como combinación lineal de la familia anterior.
Problema 1.5.4
Decir, razonadamente, si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes.