Apuntes algebra lineal y geometria vega (30)

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26 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
1. Se considera el siguiente conjunto de vectores de R3
S = {(1, 1, 1), (1, a2 + 1, a+ 1), (1, a2 + 1, 2a)} con a 2 R .
Entonces para todo a 2 R se verifica que la dimensión del subespacio generado por S es mayor
que 1.
2. En el C-espacio vectorial C2 el conjunto de vectores {(1, i), (i, 1)} es base.
3. En el R-espacio vectorial R3 existen vectores v1, v2, v3 linealmente dependientes tal que v1, v2
son linealmente independientes, v1, v3 son linealmente independientes, aśı como también lo son
v2, v3.
Problema 1.5.5
Dı́ razonadamente si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes:
En un espacio vectorial
a) Todo vector es combinación lineal, de forma única, de un sistema generador.
b) Todo vector es combinación lineal, de forma única, de una familia libre.
c) Si un vector es combinación lineal de una familia libre, los coeficientes son únicos.
Problema 1.5.6
Demuestra que en el R - espacio vectorial R3 ninguno de los vectores v1 = (�1,�1, 1), v2(0, 0, 1)
depende linealmente de S = {w = (1, 1, 0)}. ¿Es w combinación lineal de los vectores v1 y v2?
Dı́ si es verdadera o falsa la afirmación siguiente:
Aunque ninguno de los vectores v1, v2, . . . , vp dependa linealmente de un sistema S =
{w1, w2, . . . , wq}, puede ocurrir que alguna combinación lineal de aquellos dependa lineal-
mente de S.
Problema 1.5.7
Sean u y v dos vectores distintos de un K - espacio vectorial V . Analiza si algunos de los vectores
(2+↵)u+(3�↵)v con ↵ 2 K pueden ser iguales. ¿ Es S = {(2+↵)u+(3�↵)v : ↵ 2 K} un subespacio
vectorial de V ?
Problema 1.5.8
En el R - espacio vectorial R4[X] se consideran los conjuntos de vectores siguientes: S = {2�X, 1 +
X2, X +X3} y T = {1, X2}.
• Prueba que S y T son libres y que todo vector de T es linealmente independiente de S.