Apuntes algebra lineal y geometria vega (44)

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40 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
Proposición 2.3.1
Sean V y W dos K–espacios vectoriales.
1. La composición de dos aplicaciones inyectivas es inyectiva. La composición de dos aplicaciones
sobreyectivas es sobreyectiva. La composición de dos isomorfismos es isomorfismo.
2. Si f : V ! W es una aplicación lineal inyectiva o sobreyectiva y dimV = dimW , f es un
isomorfismo.
3. Si f : V ! W es un isomorfismo entonces dimV = dimW .
4. Si f : V ! W es isomorfismo entonces f�1 : W ! V es un isomorfismo.
5. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base del K–espacio vectorial V . Cada vector v 2 V se expresa de
forma única en función de B: v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, y el elemento (a1, a2, . . . , an) de
Kn recibe el nombre de coordenadas de v respecto B. Si f : V ! Kn es la aplicación que a
cada vector de V le asigna sus coordenadas respecto B entonces f es un isomorfismo, llamado
isomorfismo coordenado respecto de B.
6. Si V y W tienen la misma dimensión entonces se puede establecer entre ellos un isomorfismo,
esto es, son isomorfos.
Ejemplo 2.3.2
En los tres ejemplos que siguen se muestran algunos de los aspectos señalados en la proposición
anterior.
• En el R–espacio vectorial R2[X] el polinonio 3 + 2X tiene coordenadas (3, 2, 0) respecto de la
base canónica BC = {1, X,X2}, tiene coordenadas (2, 0, 3) respecto de la base B = {X,X2, 1},
y (6,�4, 4) son las coordenadas del polinomio respecto de la base B0 = {12 +X,X +X
2, X2}
• Ninguna aplicación lineal de Rn en Rn[X] es biyectiva puesto que las dimensiones de tales
espacios son n y n+ 1 respectivamente.
• Sea M el R–espacio vectorial de las matrices de la forma
✓
a 0
b c
◆
con a, b, c 2 R. Los R–espacios
vectoriales R2[X] y M son isomorfos pues ambos son de dimensión 3. La aplicación lineal
f : R2[X] ! M
a+ bX + cX2 7!
✓
a 0
b c
◆
es un isomorfismo. Se puede comprobar que f = C�11 � C, donde C es la aplicación coordenada
de R2[X] cuando se considera la base {1, X,X2} y C�11 es la inversa de la aplicación coordenada
de M cuando se considera la base
{
✓
1 0
0 0
◆
,
✓
0 0
1 0
◆
,
✓
0 0
0 1
◆
}.
2.3.1 Ejercicios
Ejercicio 2.3.1.1
Sea M2⇥2(R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de tamaño 2⇥ 2 con coeficientes reales,
y R2[X] el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2.