Apuntes algebra lineal y geometria vega (51)

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2.4. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL 47
Ejercicio 2.4.1.3
Sean f y g dos aplicaciones lineales de R3 a R4 definidas por:
f(x, y, z) = (2x� y, 3x+ z, x+ y + z, x� 2y + z)
g(x, y, z) = (x� y � z, 3x� y + z, x+ 2y + 3z, 2x� 2y + z)
1. Hallar las matrices M(f) y M(g) asociadas a las aplicaciones f y g respectivamente cuando en
el espacio inicial y en el espacio final se consideran las bases canónicas.
2. En general, si f1 y f2 son aplicaciones lineales del K-espacio vectorial V en el K-espacio vectorial
W , y v es un vector cualquiera de V , se define la aplicación
f1 + f2 : V ! W
v ! (f1 + f2)(v) = f1(v) + f2(v).
Teniendo en cuenta lo anterior, y siendo f y g las aplicaciones antes definidas, completar:
(f + g)(x, y, z) = (· · · , · · · , · · · , · · ·)
3. Determinar la matriz M(f + g) asociada a las aplicación lineal f + g cuando se consideran las
bases canónicas en el espacio inicial y en el espacio final.
4. Hallar una relación entre M(f), M(g) y M(f + g)
Ejercicio 2.4.1.4
Se consideran los siguientes endomorfismos de V = R2.
• f(x, y) = (�2x,�2y)
• g(x, y) = ((cos⇡
6
)x� (sen⇡
6
)y, (sen
⇡
6
)x+ (cos
⇡
6
)y)
• h(x, y) = (y, x)
1. Determina la matriz asociada a cada una de las aplicaciones anteriores respecto de las bases
canónicas en el espacio inicial y en el espacio final.
2. Sea T = {(x, y) 2 V tal que 0  x, 0  y, x+ y  1}.
(a) Demuestra que T no es un subespacio vectorial de V .
(b) Representa gráficamente el conjunto T , y el transformado de T por cada una de las aplica-
ciones anteriores.
(c) ¿Conoces el nombre de las transformaciones anteriores?
Ejercicio 2.4.1.5
Sea f : R4 ! R3 la aplicación lineal definida por su matriz asociada respecto de las bases canónicas
en el espacio inicial y final.
MBc,B0c(f) =
0
@
1 �1 �1 3
1 1 2 4
1 1 1 5
1
A
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?