Apuntes algebra lineal y geometria vega (67)

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2.6. PROBLEMAS DE APLICACIONES LINEALES 63
Problema 2.6.24
Sea A una matriz 55⇥ 44 y B una matriz 44⇥ 55. Demuestra que el determinante de AB es igual a
0.
Problema 2.6.25
Sea f :R3 ! R4 la aplicación lineal dada por
f(1, 0, 0) = (1, 1, 0, 1) f(0, 1, 0) = (�1, 2, 0, 0) f(0, 0, 1) = (0, 3, 0, 1).
Halla la matriz asociada a f respecto las bases
B = {(1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}
y
B0 = {(2, 1, 0, 1), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 3)} .
Problema 2.6.26
En R4 se consideran los subespacios siguientes:
U = {(x, y, z, t)/x+ y + z + t = 0}, W = {(x, y, z, t)/x� y = 0, z � t = 0}
y sea f : U ! W la aplicación lineal definida por
f(x, y, z, t) = (x� 3y + z, x� 3y + z, y + 2z � t, y + 2z � t).
a) Determina bases de U y de W .
b) Determina la matriz M asociada a f respecto de las bases halladas en el apartado anterior. ¿De
qué tamaño es dicha matriz?
c) Halla bases de Ker(f) y de Im(f).
d) Determina matrices P y Q regulares tales que
QMP =
✓
Ir 0
0 0
◆
donde Ir es la matriz identidad r ⇥ r y r es el rango de f .
Problema 2.6.27
Sea I : R3 ! R3 la aplicación identidad en R3 y sea A =
0
@
0 0 �1
0 1 0
1 0 0
1
A. Se pide
a) Hallar una base B1 de R3 tal que la matriz asociada a I sea A cuando en el espacio inicial se
considera la base B1 y en el final la base canónica.