Apuntes algebra lineal y geometria vega (70)

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66 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
• Calcular bases y dimensión de V y W .
• Si f :R3 ! R2 es la aplicación lineal definida por (considerando R2 y R3 como R-espacios
vectoriales):
f(x, y, z) = (�2x+ y � z, x� 2z � y)
y se define la aplicación:
F : W �! V
g 7�! g � f
entonces demostrar que F es una aplicación lineal. Respecto las bases de V y W calculadas en
el apartado inicial, calcula la matriz asociada a F . ¿Que nombre le daŕıas a la aplicación lineal
F?
• Determina bases de V y W tal que la matriz asociada a F respecto dichas bases sea lo más
sencilla posible.
Problema 2.6.35
Sea V el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres y W el R-espacio
vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos. Se consideran las aplicaciones lineales:
g: V �! W
p(x) 7�! g(p(x))
h: W �! W
q(x) 7�! h(q(x))
con g(p(x)) = p(0)x2 + p(1)x+ p(�1) y
h(q(x)) = q0(x) + x2
✓Z 1
0
q(x)dx
◆
.
Se pide:
• Determinar las matrices de g, h y h � g respecto de las bases canónicas de V y W .
• Determinar bases de V y W de forma que las matrices asociadas a las aplicaciones lineales g, h
y h � g respecto dichas bases sean lo más sencillas posibles.
Problema 2.6.36
En el R-espacio vectorial R4 se considera el subespacio
U = {(x, y, z, t) : x+ y � z � t = 0, x+ y + z + t = 0}
y sea W un subespacio de R4 tal que R4 = U �W . Si ⇧:R4 ! U es la aplicación lineal que a cada v
en R4 le asocia el único elemento u 2 U tal que v = u+ w con w 2 W . Se pide:
• Determinar una base de U y la matriz de ⇧ respecto la base canónica de R4 y la base de U que
has calculado.