Apuntes algebra lineal y geometria vega (78)

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74 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Sea g = pU � fU el endormorfismo de U donde fU : U ! R4 es la restricción de f a U , y pU : R4 ! U
es la proyección de R4 sobre U . Si extraemos de A0 la caja
C =
0
@
0 �1 2
3 5 �3
4 5 �2
1
A
entonces se verifica que C es la matriz asociada al endomorfismo g de U respecto de la base BU =
{e1, e3, e4} de U .
El polinomio caracteŕıstico de g es
Pg(X) = PC(X) = (X + 1)(X � 2)2,
y el subespacio
Vg(�1) = h{�e1 + e3 + e4}i.
Si en U = Vg(�1) � W , con W = h{e1, e3}i, consideramos la base B0U = {�e1 + e3 + e4, e1, e3}, se
tiene:
MB0U (g) =
0
@
�1 4 5
0 4 4
0 �1 0
1
A
Reiterando el proceso, si de MB0U (g) extraemos la caja
D =
✓
4 4
�1 0
◆
,
D es la matriz asociada a un endomorfismo h de W respecto de la base BW = {e1, e3}: h = pW � gW
donde gW : W ! U es la restricción de g a W , y pW : U ! W es la proyección de U sobre W .
El polinomio caracteŕıstico de h es
Ph(X) = PD(X) = (X � 2)2,
y el subespacio
Vh(2) = h{�2e1 + e3}i.
Si en W fijamos la base B0W = {�2e1 + e3, e1}, se tiene que
MB0W (h) =
✓
2 �1
0 2
◆
.
Sea, finalmente, B⇤ = {e2,�e1+e3+e4,�2e1+e3, e1} la base de R4 que hemos obtenido a lo largo
de todo el proceso anterior. Respecto de dicha base la matriz asociada a f es triangular:
MB⇤(f) =
0
BB@
�1 1 1 2
0 �1 �3 4
0 0 2 �1
0 0 0 2
1
CCA = P
�1 ·A · P
donde P es la matriz que tiene por columnas las respectivas coordenadas de los vectores de la base B⇤
expresados en función de la base canónica.