Apuntes algebra lineal y geometria vega (85)

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3.2. EL POLINOMIO MÍNIMO DE UN ENDOMORFISMO 81
Teorema 3.2.1 (Teorema de Cayley–Hamilton)
Sea A una matrix n⇥n con coeficientes en K y PA(X) su polinomio caracteŕıstico. Se verifica entonces
que la matriz PA(A) es la matriz nula.
Sea f :V ! V un endomorfismo y Pf (X) su polinomio caracteŕıstico. Se verifica entonces que el
endomorfismo Pf (f) es el endomorfismo nulo.
Demostración.
Sea
PA(X) = det(XIn �A) = Xn + bn�1Xn�1 + . . .+ b1X + b0.
Denotemos por M la matriz XIn �A, y por M? la matriz adjunta de la traspuesta de M, de donde
tendremos que
M ·M? = det(XIn �A)In = PA(X)In (3.5)
La matriz M? es una matriz con coeficientes en K[X], pero también puede ser vista como un polinomio
con coeficientes en un conjunto de matrices.
Si M? = (↵ij) entonces ↵ij = (�1)i+j ·Mij , siendo Mij el determinante de un menor de tamaño
(n� 1)⇥ (n� 1) de la matriz traspuesta de M. Por tanto cada ↵ij es un polinomio de grado menor
o igual que n� 1 en la indeterminada X:
M? =
0
B@
a11n�1X
n�1 + . . .+ a111 X + a
11
0 . . . a
1n
n�1X
n�1 + . . .+ a1n1 X + a
1n
0
...
...
an1n�1X
n�1 + . . .+ an11 X + a
n1
0 . . . a
nn
n�1X
n�1 + . . .+ ann1 X + a
nn
0
1
CA
=
0
@
a11n�1 . . . a
1n
n�1
. . . . . . . . .
an1n�1 . . . a
nn
n�1
1
AXn�1 + . . .+
0
@
a111 . . . a
1n
1
...
...
an11 . . . a
nn
1
1
AX +
0
@
a110 . . . a
1n
0
...
...
an10 . . . a
nn
0
1
A
= Mn�1Xn�1 + . . .+M1X +M0 = M(X)
(3.6)
Teniendo en cuenta las igualdades 3.5 y 3.6 obtenemos
(Mn�1X
n�1 . . . . . .+M1X +M0) · (XIn �A) = (Xn + bn�1Xn�1 + . . .+ b1X + b0) · In (3.7)
Haciendo operaciones en el miembro de la izquierda obtenemos:
(Mn�1X
n + . . . . . .+M1X
2 +M0X)� (Mn�1AXn�1 + . . . . . .+M1AX +M0A) =
= Mn�1X
n + (Mn�2 �Mn�1A)Xn�1 + . . . . . .+ (M1 �M2A)X2 + (M0 �M1A)X �M0A
El miembro de la derecha puede escribirse como:
InXn + bn�1InXn�1 + . . .+ b1InX + b0In
De 3.7, y del hecho de que dos polinomios son iguales si lo son los coeficientes de los términos de igual
grado, resultan las siguientes igualdades:
Mn�1 = In
Mn�2 �Mn�1A = bn�1In
Mn�3 �Mn�2A = bn�2In