Apuntes algebra lineal y geometria vega (109)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 105
• En el ejercicio 3.1.1.10 se probó que :
(a) El polinomio caracteŕıstico de A es pA(X) =
1
6X(7X
6 � r(X)) siendo r(X) = X6 +
X5 + · · ·+X2 +X + 1, y r(↵) 6= 0 donde ↵ es cualquier valor propio de A
(b) La matriz A6 +A5 + · · ·+A2 +A+ I es inversible.
(c) ker(s7 � I) = ker(s� I) = h{(6, 5, 4, 3, 2, 1, 0)}i,
lo que reuelve también el problema.
Este ejercicio aparece, sin las aplicaciones de Maple, en el libro Abstract Algebra with Applications
de Karlheinz Spindler.
Problema 3.6.24
Un inversor desea abrir tres cuentas A1, A2 y A3 con cantidades iguales. Dichas cuentas tienen una
ganancia anual del 6%, 8% y 10% respectivamente. Al final de cada año la póliza del inversor invierte
1/3 del dinero ganado en A2 y 2/3 del dinero ganado en A3 en A1, y 1/3 del dinero ganado en A3 en
A2.
1. Escribe el sistema de ecuaciones que representa la cantidad invertida en cada cuenta después de
n años.
2. Expresa la cantidad de dinero de cada cuenta en el año n en términos de la cantidad invertida
inicialmente en cada cuenta.
3. Estimar el número de años para conseguir en A1 una cantidad doble a la inicial.
Este ejercicio aparece en el libro Interactive Linear Algebra with MAPLE V de Deeba/Gunawardena.
Problema 3.6.25
Se considera la matriz
A =
0
@
1 0 2
0 1 0
0 0 1
1
A
Halla una base de R3 en la que la misma se represente mediante la forma canónica de Jordan.
Problema 3.6.26
Sea V = C3 y f : V ! V una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica de V es
A =
0
@
1 �1 2
1 3 3
0 0 1
1
A
Se pide:
a) Calcular polinomios caracteŕıstico y mı́nimo de f . ¿Es f diagonalizable?
b) Determina la descomposición de V como suma directa de subespacios f -invariantes de acuerdo
con la descomposición del polinomio mı́nimo obtenida en a).