Apuntes algebra lineal y geometria vega (113)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 109
Problema 3.6.36
Sea f : R4 ! R4 un endomorfismo tal que
• f(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0,�1)
• f(1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0)
• ker(f) = Im(f)
Se pide:
1. Hallar la matriz asociada a f respecto de la base canónica.
2. Obtener los subespacios de vectores propios asociados a f y decidir si f es o no diagonalizable.
Problema 3.6.37
Sea f : R5 ! R5 un endomorfismo y M su matriz asociada respecto de la base canónica
M =
0
BBBB@
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0 �1 1
0 0 0 �4 3
1
CCCCA
Se pide:
1. Teniendo en cuenta la matriz M , mostrar dos subespacios U y W de R5 f -invariantes y tales
que dimU = 3 y dimW = 2.
2. Determinas una base de R5 respecto de la cuál la matriz asociada a f tenga la forma canónica
de Jordan. Da dicha matriz.
3. La matriz M1000 �M999, ¿es la matriz nula 5⇥ 5?
Problema 3.6.38
Sea f : R4 ! R4 un endomorfismo tal que
• f(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0,�1)
• f(1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0)
• f2 = IR4 (la aplicación identidad en R4)
Se pide:
1. Hallar la matriz asociada a f respecto de la base B = {v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 =
(0, 1, 0,�1), v4 = (1, 1, 1, 0)} .
2. Obtener los subespacios de vectores propios asociados a f y d́ı si f es o no diagonalizable.