Apuntes algebra lineal y geometria vega (54)

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50 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
La matriz P recibe el nombre de matriz del cambio de base de B0 a B (sus columnas son las
coordenadas de los vectores de B0 expresados en función de B). Además se tiene que la matriz P es
inversible:
Sea P ⇤ = MB,B0(IV ) e In la matriz identidad de orden n. Es claro que In = MB,B(IV ) =
MB0,B0(IV ), pero también se tiene MB,B(IV ) = PP ⇤ y MB0,B0(IV ) = P ⇤P (la composición
de aplicaciones tiene como matriz asociada la matriz producto e IV � IV = IV ). Por tanto
In = P ⇤P = PP ⇤ y P ⇤ = P�1.
Se ha visto entonces que todo cambio de base tiene asociada una matriz regular. El proceso
es rećıproco: si P = (pij) es una matriz regular n ⇥ n y V es un K–espacio vectorial donde B =
{v1, v2, . . . , vn} es una de sus bases, existe una base B0 de V tal que P = MB0,B(IV ). Basta considerar
B0 = {v01, v02, . . . , v0n} donde
v0i =
nX
j=1
pjivj .
Ejemplo 2.5.2
En R3 se considera la base B = {(1,�1, 1), (0,�1, 1), (0, 1, 0)}. Si uno desea saber cuáles son las
coordenadas del vector v = (3, 2, 1) respecto de la base B, puede actuar
• bien resolviendo el sistema que resulta de la igualdad
(3, 2, 1) = a(1,�1, 1) + b(0,�1, 1) + c(0, 1, 0)
• o bien determinando la matriz del cambio de base P que da las coordenadas de los vectores de
la base canónica en función de B
P =
0
@
1 0 0
�1 0 1
0 1 1
1
A =
0
@
1 0 0
�1 �1 1
1 1 0
1
A
�1
y obtener las coordenadas (a, b, c) de v = (3, 2, 1) respecto de la base B como
0
@
a
b
c
1
A = P
0
@
3
2
1
1
A
Dado un vector v = (x, y, z), las coordenadas (x0, y0, z0) de v respecto B son las que se obtienen como
0
@
x0
y0
z0
1
A = P
0
@
x
y
z
1
A
Ejemplo 2.5.3
En R3 se consideran las bases
B = {(1,�1, 1), (0,�1, 1), (0, 1, 0)} y B0 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Si un vector v tiene coordenadas (x, y, z) respecto de B y (x0, y0, z0) respecto de B0, se tiene
0
@
x
y
z
1
A = P
0
@
x0
y0
z0
1
A , con P =
0
@
1 1 0
0 �1 1
2 1 1
1
A
donde P es la matriz del cambio de base cuyas columnas dan las coordenadas de los vectores de B0
respecto de B. ¿Puedes escribir P como producto de dos matrices de cambios de base donde intervenga
la base canónica de R3?