Apuntes algebra lineal y geometria vega (120)

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116 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
en el intervalo [0, 1]. En ese entorno la función p(x)2 ”encierra una área positiva”. Por tanto si
p(x) 6⌘ 0,
p(x) · p(x) =
Z 1
0
p(x)2dx �
Z x0+✏
x0�✏
p(x)2dx > 0
Sea V un espacio vectorial real con un producto escalar ” · ”. Para todo vector v 2 V se verifica
que kvk2 = v · v > 0 si v 6= 0, por lo que tiene sentido hablar de una aplicación k · k : V ! R definida
por kvk = +
p
kvk2 =
p
v · v, y que recibe el nombre de aplicación norma.
Definición 4.1.2
En las condiciones anteriores, se llama norma de un vector v al número kvk. Si kvk = 1, el vector v
se llama vector unitario.
Algunas propiedades relativas a la norma están recogidas en la siguiente proposición.
Proposición 4.1.1
1. kvk � 0 8v 2 V y kvk = 0 , v = 0
2. k↵vk = |↵|kvk, 8v 2 V, 8↵ 2 R. Aśı, para todo vector v no nulo, se tiene que el vector v/kvk es
unitario.
3. |v · w|  kvk · kwk, 8v, w 2 V . Esta desigualdad es conocida como desigualdad de Schwarz.
4. kv + wk  kvk+ kwk, 8v, w 2 V . Este resultado se conoce por desigualdad triangular.
Demostración
Los dos primeros puntos se extraen de la propia definición. Para probar el tercero de los puntos
consideramos el vector ↵v � �w:
k↵v � �wk2 = (↵v � �w) · (↵v � �w) = |↵|2kvk2 + |�|2kwk2 � 2↵�v · w ↵=kwk
2,�=v·w
=
= kwk2(kwk2kvk2 � (v · w)2)
k·k2�0
� 0
Por tanto kwk2kvk2 � (v · w)2 � 0, de donde se deduce 3.
La demostración de 4:
kv + wk2 = (v + w) · (v + w) = kvk2 + kwk2 + 2v · w 
 kvk2 + kwk2 + 2|v · w|  kvk2 + kwk2 + 2kvk · kwk = (kvk+ kwk)2
Definición 4.1.3
Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión n.
1. Si u y v son dos vectores no nulos de V tales que u · v = 0, se dice que u y v son ortogonales.
2. Si U es un subespacio vectorial de V , se llama conjunto ortogonal a U al conjunto U? = {v 2
V/u · v = 0, 8u 2 U}
La proposición siguiente recoge algunas propiedades relativas a estos conceptos.
Proposición 4.1.2
Sea V un espacio eucĺıdeo.