Apuntes algebra lineal y geometria vega (133)

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4.4. ISOMETRÍAS EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 129
Las igualdades (*) junto con det(A) = ad � bc = �1, permiten deducir que a = �d y b = c. En
este caso A =
✓
a b
b �a
◆
con a2 + b2 = 1, y su polinomio caracteŕıstico es (X + 1)(X � 1).
Si b = 0 entonces a = ±1, y la base buscada es la de partida o la que se obtiene de permutar en
ella los vectores.
Si b 6= 0, el vector w1 de coordenadas (b, 1� a) es un vector propio asociado al valor propio 1 y w2
de coordenadas (�b, 1 + a) es un vector propio asociado al valor propio �1. El producto escalar de
w1 y w2 es cero. Esto nos asegura que la base B0 = { w1kw1k ,
w2
kw2k} es una base ortonormal.
Definición 4.4.2
Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión 2, � una transformación ortogonal definida en V , y
A la matriz asociada a � con la forma de la proposición anterior. Se dice que � es
1. Una rotación vectorial de amplitud ✓, si A =
✓
cos✓ �sen✓
sen✓ cos✓
◆
con 0  ✓ < 2⇧.
2. Una simetŕıa vectorial ortogonal (de eje el conjunto de vectores fijos V�(1) = {v 2 V/�(v) = v}),
si A =
✓
1 0
0 �1
◆
.
Ejemplo 4.4.1
• Si � es la transformación ortogonal de R2 que respecto de la base canónica tiene por matriz✓
3
5
4
5
4
5 �
3
5
◆
, p�(X) = (X�1)(X+1) y � es una simetŕıa vectorial ortogonal de eje V(1) =< w1 =
(2, 1) >. Como V(�1) =< w2 = (1,�2) >= V ?(1), respecto de la base ortogonal {w1, w2} o de la
base ortonormal { w1kw1k ,
w2
kw2k}, la matriz asociada a � es
✓
1 0
0 �1
◆
.
• Si � es la transformación ortogonal de R2 que respecto de la base canónica tiene por matriz
A =
 
1
2
�
p
3
2p
3
2
1
2
!
, det(A) = 1 y p�(X) = X2 � X + 1 es irreducible. La isometŕıa � es una
rotación de amplitud ⇧3 , respecto de la base canónica.
• Si � es una isometŕıa del espacio vectorial eucĺıdeo V de dimensión 2, y su polinomio caracteŕıstico
p�(X) = X2 + ↵X + � es irreducible sobre R, � es una rotación (de matriz no diagonal).
Además, puesto que respecto de una base ortonormal la matriz asociada a � es ortogonal, su
determinante es ±1, y como coincide con el término independiente de su polinomio caracteŕıstico,
deducimos que � = 1.
En este caso el polinomio caracteŕıstico p�(X) = X2 + ↵X + 1 se puede escribir de la forma
p�(X) = (X � a)2 + b2 siendo a = �↵2 y b
2 = 4�↵
2
4 . Como a
2 + b2 = 1, a = cos✓, b = sen✓ con
✓ 2 [0, 2⇧).
• Sea � una isometŕıa del espacio vectorial eucĺıdeo V de dimensión 2, cuyo polinomio caracteŕıstico
p�(X) = X2 + ↵X + � es reducible sobre R. Si � = �1 entonces es una simetŕıa. Si � = 1, es
una rotación, de matriz I2 si ↵ = �2 y de matriz �I2 si ↵ = 2.
En general, si V�(1) = {v 2 V/�(v) = v}, podemos deducir de lo anterior que:
� es simetŕıa () dimV(1) = 1 () p�(X) = (X � 1)(X + 1)