Apuntes algebra lineal y geometria vega (144)

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140 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
para i = 1, · · · , n. Ese conjunto de relaciones puede expresarse matricialmente de la forma:
0
@
y1
...
yn
1
A =
0
@
a1
...
an
1
A+
0
@
a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann
1
A
0
@
x1
...
xn
1
A ,
expresión que recibe el nombre de ecuación matricial del cambio de sistema de referencia.
Si denotamos por B y B0 las bases determinadas por R y R0 respectivamente, la igualdad anterior
puede leerse como
coord(P ) en R0 = coord(P0) en R0+ matriz que expresa B respecto B0 · coord(P ) en R
Ejemplo 4.5.1
La relación descrita por la expresión anterior es tratada también en los siguientes ejemplos.
• En X = R2 se considera el sistema de referencia R = {P0(1, 2), P1(2, 3), P2(1, 4)}.
Las coordenadas del punto P1 en el sistema de refencia R son (1, 0). El origen del sistema de
refencia canónico tiene coordenadas (�1,�2) en R.
Si P es un punto de coordenadas (x, y) según el sistema canónico, sus coordenadas (x0, y0) en el
sistema R vienen dadas por
✓
x0
y0
◆
=
✓
�1
�2
◆
+
✓
1 0
1 2
◆✓
x
y
◆
ya que ~P0P1 = (1, 1) y ~P0P2 = (0, 2)
• En X = R2 se consideran los sistemas de referencia R = {P0(1, 2), P1(2, 3), P2(1, 4)} y R0 =
{Q0(1, 1), Q1(�1,�1), Q2(2, 0)}. El sistema R tiene asociada la base B = { ~P0P1 = (1, 1), ~P0P2 =
(0, 2)} y el sistema R0 tiene asociada la base B0 = { ~Q0Q1 = (�2,�2), ~Q0Q2 = (1,�1)}. Por
tanto la matriz asociada al cambio de base que expresa B en función de B0 es
✓
�2 �12
0 �1
◆
.
Como ~Q0P0 = (0, 1) = �14( ~Q0Q1 + 2 ~Q0Q2), las coordenadas de P0 en R
0 son (�14 ,�
1
2).
Se tiene entonces que si un punto P tiene coordenadas (x, y) en función del sistema de referencia
R, las coordenadas (x0, y0) de ese punto en el sistema R0 vendrán dadas por
✓
x0
y0
◆
=
✓
�14
�12
◆
+
✓
�2 �12
0 �1
◆✓
x
y
◆
¿Cuáles son las coordenadas en R y R0 del punto P de coordenadas (2, 3) en el sistema de
referencia canónico?
4.5.2 Aplicaciones Afines
Este apartado vamos a dedicarlo al estudio de las aplicaciones propias de la estructura af́ın, las
aplicaciones afines.
1. Definición y ejemplos
Sea f : X = Rn ! X = Rn una aplicación y sea P un punto cualquiera , pero fijo, de X. Esos dos
objetos nos permiten definir la siguiente aplicación en el espacio vectorial V = Rn.
�P : V = Rn ! V = Rn