Apuntes algebra lineal y geometria vega (151)

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4.6. ESTUDIO DE ALGUNAS APLICACIONES AFINES PARTICULARES 147
el vector definido por un punto cualquiera P y su imagen P 0 = f(P ) tiene coordenadas (respecto base
canónica) (x01 � x1, · · · , x0n � xn) = (a1, · · · , an). Si consideramos entonces la traslación tv, donde v es
el vector de coordenadas (a1, · · · , an), dicha traslación actúa sobre P en la misma forma que lo hace
f , es decir f = tv.
Ejemplo 4.6.3
• Si r es una recta af́ın cuya dirección viene determinada por el vector v, se tiene que tv(r) = r.
Si r es una recta cuya dirección es independiente de v, tv(r) es una recta distinta de r pero de
su misma dirección.
Por una traslación una recta se transforma entonces en una recta paralela a ella.
• Si en X = R2 consideramos la traslación de vector v(2,�1), la recta r de ecuación x� 2y = 1 se
trasforma en la recta r0 de ecuación x� 2y = 5.
• Obsérvese que la composición de dos traslaciones es otra traslación de vector la suma de los
vectores, lo que garantiza a su vez que la composición de traslaciones es conmutativa: tv � tw =
tw+v = tv+w = tw � tv.
También es consecuencia de lo anterior que t�1v = t�v.
¿Puedes realizar una gráfica que ilustre lo que sucede cuando se realiza la composición de dos
traslaciones?
4.6.4 Homotecias
En este punto se trata el estudio de un tipo de afinidades biyectivas que no conservando las distancias
conservan la ”forma”. Las homotecias son transformaciones que conservan los ángulos y la razón entre
longitudes.
Definición 4.6.5
Sea C un punto fijo de X = Rn y ↵ 6= 0 un número real cualquiera. Se llama homotecia de centro C
y razón ↵, que representamos por hC,↵, a la aplicación
hC,↵ : X ! X
C ! C
P 6= C ! P 0
siendo P 0 el punto tal que ~CP 0 = ↵ ~CP .
Si consideramos la aplicación �C : V = Rn ! V = Rn que a cada vector v = ~CP le asocia el vector
v0 = ~CP 0 donde P 0 = hC,↵(P ) (C = hC,↵(C)), se tiene que �C(v) = v0 = ↵v. Por tanto �C = ↵ · IRn ,
que es lineal. Como consecuencia se tiene la siguiente proposición
Proposición 4.6.4
La homotecia hC,↵ es una aplicación af́ın.
Proposición 4.6.5
En las condiciones de la definición anterior, se verifica
1. hC,↵ es biyectiva.