Apuntes algebra lineal y geometria vega (158)

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154 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
• Se considera la cónica que, respecto del sistema de referencia canónico, tiene por ecuación
11x2 + 4xy + 14y2 + 4x� 8y � 20 = 0
Vamos a ver si es una cónica con centro o sin centro, cuál es su ecuación reducida, las ecuaciones
de sus ejes en el caso de tenerlos, · · ·.
– La ecuación de la cónica escrita matricialmente es
( 1 x y )
0
@
�20 2 �4
2 11 2
�4 2 14
1
A
0
@
1
x
y
1
A = 0
Utilizando la notación manejada anteriormente, se tiene que
c = �20, B = ( 2 �4 ) , A =
✓
11 2
2 14
◆
, M =
0
@
�20 2 �4
2 11 2
�4 2 14
1
A
– Como rango de A es 2, la cónica es una cónica con centro, pues el sistema que planteamos
a continuación tiene solución y es única.
✓
11 2
2 14
◆✓
h1
h2
◆
=
✓
�2
4
◆
– La solución de ese sistema es el centro de la cónica: P0 = (� 625 ,
8
25).
Una base respecto de la cual la matriz de términos cuadráticos de la cónica es diagonal es
{e1, 2e1 � 11e2}:
A0 = T tAT =
✓
1 0
2 �11
◆✓
11 2
2 14
◆✓
1 2
0 �11
◆
=
✓
11 0
0 11 · 150
◆
Si en el plano af́ın se considera el sistema de referencia R = {P0 = (� 625 ,
8
25); v1 =
(1, 0), v2 = (2,�11)}, la matriz de la cónica respecto de este nuevo sistema de referen-
cia es (manteniendo la notación de la parte teórica):
M” = T ⇤tM 0T ⇤ = T ⇤tQ⇤tMQ⇤T ⇤ =
0
@
�54425 0 0
0 11 0
0 0 1650
1
A
donde Q⇤T ⇤ es la matriz del cambio de sistema de referencia (Q⇤ cambia el centro del
sistema, T ⇤ cambia la base).
Q⇤T ⇤ =
0
@
1 0 0
� 625 1 0
8
25 0 1
1
A
0
@
1 0 0
0 1 2
0 0 �11
1
A =
0
@
1 0 0
� 625 1 2
8
25 0 �11
1
A
La ecuación de la cónica en el nuevo sistema es por tanto 11x02 + 1650y02 � 54425 = 0, que
también se escribe
x02
(
q
544
275)
2
+
y02
(
q
544
31.250)
2
= 1