Apuntes algebra lineal y geometria vega (163)

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4.8. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EUCLÍDEA 159
Problema 4.8.7
Sea A una matriz cuyas columnas forman una base de R3. Sea B la matriz que tiene por columnas
los vectores de R3 que se obtienen de aplicar Gram-Schmidt a las columnas de A. ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?.
• Las dos primeras columnas de A y las dos primeras columnas de B generan el mismo subespacio
de R3.
• B es una matriz ortogonal.
Problema 4.8.8
Demuestra que en Rn:
a) Para cualquier subespacio S, (S?)? =S.
b) Si S y T son subespacios tales que S? = T?, entonces S = T .
c) Si S y T son subespacios tales que S ⇢ T , entonces T? ⇢ S?.
Problema 4.8.9
Demuestra el teorema generalizado de Pitágoras: Sean u y v dos vectores de Rn ortogonales. Entonces
||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2.
Problema 4.8.10
En cada uno de los siguientes apartados se da un subespacio U y un vector v de R2, R3 o R4, y se
pide para cada caso:
i) Calcular pUv .
ii) Hallar una base ortonormal para U .
iii) Escribir v = u+ u0 con u 2 U y u0 2 U .
a) U = {(x, y) 2 R2 : x+ y = 0}; v = (�1, 2)
b) U = {(x, y) 2 R2 : x+ y = 0}; v = (1, 1)
c) U = {(x, y) 2 R2 : ax+ by = 0}; v = (a, b) con a o b no nulos
d) U = {(x, y, z) 2 R3 : ax+ by + cz = 0}; v = (a, b, c) con a, b o c no nulos.
e) U = {(x, y, z) 2 R3 : 3x� 2y + 6z = 0}; v = (3, 1, 4)
f) U = {(x, y, z) 2 R3 : x/2 = y/3 = z/4}; v = (1, 1, 1)
g) U = {(x, y, z, t) 2 R4 : 2x� y + 3z � t = 0}; v = (1,�1, 2, 3)
h) U = {(x, y, z, t) 2 R4 : x = y, t = 3y}; v = (�1, 2, 3, 1)