Apuntes algebra lineal y geometria vega (168)

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164 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
i) Demuestra que si para algún P 2 Y , WP (Y ) es un subespacio, entonces para todo punto P 0 de
Y , el conjunto WP 0(Y ) es un subespacio y coincide con WP (Y ) .
El resultado anterior nos permite establecer las siguientes definiciones. Si Y es un subespacio
af́ın, el subespacio vectorialW (Y ) = WP (Y ) (pues no depende de P ) es llamado espacio vectorial
asociado con Y . Se define como dimensión de Y la dimensión de W (Y ). Observar que si Y = Rn,
W (Y ) = Rn y que la dimensión de Rn como espacio af́ın es la misma que tiene como espacio
vectorial.
ii) Sea P un punto del espacio af́ın Rn, y W un subespacio de Rn (como espacio vectorial). ¿Es
Y = {Q/ ~PQ 2 W} un espacio af́ın?.
iii) ¿En qué consiste un subespacio af́ın de dimensión 0?. Un subespacio af́ın de Rn es llamado recta,
plano o hiperplano cuando dimY es respectivamente 1, 2 o n� 1.
Problema 4.8.27
En R3 consideramos el punto P = (1, 2, 3) y sea W el subespacio generado por los vectores v = (1, 0, 1)
y w = (1, 1, 1).
i) Da las ecuaciones paramétricas del subespacio af́ın Y que pasa por P y tiene como subespacio
vectorial asociado a W .
ii) Da una recta af́ın que verifique en cada caso una de las condiciones siguientes:
- Pasa por P y está contenida en Y
- Está contenida en Y pero no pasa por P
- Pasa por P y no está contenida en Y
- Tiene un solo punto en común con Y y es distinto de P
- No tiene ningún punto en común con Y
Problema 4.8.28
En R3 consideramos dos rectas afines r y r0.
i) Si existe un plano que contiene a ambas, ¿qué puede decirse de la posición relativa de dichas
rectas?. Justifica tu respuesta.
ii) Da una recta af́ın r que pase por el punto (1, 1, 1) y una recta r que pase por el (1, 0,�1) para
las cuáles no exista un plano que contenga a ambas rectas a la vez.
Problema 4.8.29
Sea f : R3 ! R3 la aplicación que a cada punto P (x, y, z) le asocia el punto f(P ) = (x0, y0, z0) tal que
x0 = 1 + x+ 2y + z
y0 = 2 + y � z
z0 = �1 + x+ 3z