Apuntes algebra lineal y geometria vega (184)

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180 CUESTIONARIO
Cuestión 19
Denotemos por M2⇥3(R) el conjunto de matrices con coeficientes reales de tamaño 2 ⇥ 3, y sea
f : M2⇥3(R) ! R3 la aplicación que a cada matriz
M =
✓
a11 a12 a13
a21 a22 a23
◆
2 M2⇥3(R)
le asocia el vector (a11 + a21, a12 + a22, a13 + a23) de R3.
Sea BC = {Eij : i = 1, 2, j = 1, 2, 3} la base canónica de M2⇥3(R) (Eij es la matriz de M2⇥3(R) que
tiene un 1 en el lugar (i, j) y 0 en el resto).
Sea Bc = {e1, e2, e3} la base canónica de R3.¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
1. La matriz asociada a f respecto de las bases BC y Bc es
0
@
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
1
A
2. El núcleo de f está generado por las matrices E11 � E21, E12 � E22 y E13 � E23
3. El rango de la aplicación lineal es 3.
4. Respecto de las bases
B = {E11 � E21, E12 � E22, E13 � E23, E11, E12, E13} y
B0 = {e3, e2, e1}
la matriz asociada a f es
MB,B0 =
0
@
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
1
A
Cuestión 20
En los espacios vectoriales R2 y R3 se consideran las bases respectivas
B = {(1,�1), (2, 0)} y B0 = {(1, 1, 1), (1,�1, 1), (2, 0, 0)}
y sea f : R2 ! R3 la aplicación lineal que respecto dichas bases tiene por matriz asociada
MB,B0(f) =
0
@
1 1
0 1
2 0
1
A .
Señala de las frases siguientes las que sean verdaderas.
1. Si v es el vector de R2 de coordenadas (1, 1) respecto B, entonces f(v) es el vector de R3 que
tiene coordenadas (2, 1, 2) respecto de la base canónica de R3.
2. Si u es el vector de R2 de coordenadas (1,�1) respecto B, entonces f(u) es el vector de R3 que
tiene coordenadas (1, 0, 2) respecto de la base B0 de R3.