Apuntes algebra lineal y geometria vega (187)

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CUESTIONARIO 183
Cuestión 25
Sea f un endomorfismo no nulo de R2 tal que respecto de la base canónica está representado por la
matriz ✓
a b
b c
◆
siendo a, b, c números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
1. El polinomio caracteŕıstico de f siempre tiene raices reales.
2. f siempre es diagonalizable, independientemente de los valores de a, b, c.
3. Si a = c y b 6= 0, entonces {(1, 1), (1,�1)} es una base de vectores propios.
4. Si a = c y b = 0, entonces cualquier base de R2 es una base de vectores propios.
Cuestión 26
Sea A =
0
@
1 �2 3
0 �1 3
0 0 1
1
A. Señalar qué proposiciones de las siguientes son ciertas.
1. El polinomio caracteŕıstico de A es (X � 1)2(X + 1)
2. Si P =
0
@
1 0 1
0 3 1
0 2 0
1
A entonces P�1AP es una matriz diagonal.
3. A35 = A
4. A35 es la matriz nula.
Cuestión 27
Sea f un endomorfismo de R2[X] que está representado respecto de la base canónica {1, X,X2} por
la matriz
A =
0
@
1 �2 3
0 �1 3
0 0 1
1
A .
Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
1. {1, 3X + 2X2, 1 +X} es una base de vectores propios de f .
2. No existe una base de vectores propios para f .
3. El polinomio mı́nimo y el polinomio caracteŕıstico de f coinciden.
4. f6 � f2 es la aplicación idénticamente nula.