Apuntes algebra lineal y geometria vega (192)

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188 CUESTIONARIO
1. Las posibles formas de Jordan de f son
0
BB@
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
CCA
0
BB@
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
CCA
0
BB@
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 ↵
1
CCA
0
BB@
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 ↵ 0
0 0 0 �
1
CCA
0
BB@
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 ↵ 0
0 0 0 ↵
1
CCA
0
BB@
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 ↵ 1
0 0 0 ↵
1
CCA
donde ↵,� 2 C distintos.
2. Si 1 y �1 son autovalores de f , el polinomio mı́nimo de f es X(X2 � 1)
3. Si X2 + 1 es un factor del polinomio caracteŕıstico de f entonces la forma de Jordan de f es
diagonal y los elementos de la diagonal son 0, 0, i,�i.
4. f no puede tener como polinomio caracteŕıstico pf (X) = X4.
Cuestión 37
Sea f un endomorfismo de R3 tal que respecto de la base B = {v1, v2, v3} tiene asociada la matriz de
Jordan siguiente:
J =
0
@
1 0 0
0 1 1
0 0 1
1
A .
Indica cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas.
1. f es un isomorfismo.
2. La matriz asociada a f�1 respecto B es
0
@
1 0 0
0 1 �1
0 0 1
1
A .
3. Respecto de la base B0 = {v1,�v2, v3} la matriz asociada a f�1 es J .
4. ker(f � I) = h{v1, v2}i.
Cuestión 38
Sea f un endomorfismo de un R-espacio vectorial V de dimensión 4. Indica cuáles de las siguientes
proposiciones son ciertas.
1. No puede existir f tal que su polinomio caracteŕıstico sea pf (X) = X4 � 2X3 �X2 + 4X � 2 y
su matriz de Jordan sea de la forma
0
BB@
⇤ 1 0 0
0 ⇤ 1 0
0 0 ⇤ 1
0 0 0 ⇤
1
CCA
donde los ⇤ representan los autovalores de f .