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7.9. Ecuaciones y sistemas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.10. Transposición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.11. Descomposición A = uvt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.12. Matriz nilpotente e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.13. Potencia enésima por binomio de Newton . . . . . . . . . . . 185 7.14. Traza de una matriz, propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.15. Matrices mágicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.16. Matriz de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.17. Inversa generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8. Determinantes sobre un cuerpo 197 8.1. Determinantes sencillos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.2. Determinantes sencillos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.3. Determinantes por triangularización (1) . . . . . . . . . . . . 202 8.4. Determinantes por triangularización (2) . . . . . . . . . . . . 204 8.5. Determinantes por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.6. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.7. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.8. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria . . . . . 217 8.9. Determinante y sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 219 8.10. Determinante con números combinatorios . . . . . . . . . . . 219 8.11. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.12. Determinante e inversa de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.13. Determinante de I + v w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.14. Determinante por inducción y sistema lineal . . . . . . . . . . 223 9. Espacios vectoriales 227 9.1. Primeras propiedades de los espacios vectoriales . . . . . . . . 227 9.2. Espacio vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.3. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo . . . . . . . 230 9.4. Espacio vectorial K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.5. Espacio vectorial de las funciones reales . . . . . . . . . . . . 232 9.6. Subcuerpo como espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.7. Subespacios vectoriales, caracterización . . . . . . . . . . . . 234 9.8. Suma e intersección de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.9. Suma directa de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.10. Suma directa de varios subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.11. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.12. Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . 247 9.13. Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.14. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base . . . 259 viii
