problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (234)

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8.11 Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
Solución. Restando a cada fila la anterior y usando la conocidas fórmulas(
n
k
)
=
(
n− 1
k − 1
)
+
(
n− 1
k
)
,
(
n
0
)
= 1,
(
n
1
)
= n,
∆(m, p) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(
m
0
) (
m
1
) (
m
2
)
. . .
(
m
p
)
0
(
m
0
) (
m
1
)
. . .
(
m
p−1
)
0
(
m+1
0
) (
m+1
1
)
. . .
(
m+1
p−1
)
...
...
0
(
m+p−1
0
) (
m+p−1
1
)
. . .
(
m+p−1
p−1
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1 ·
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(
m
0
) (
m
1
)
. . .
(
m
p−1
)(
m+1
0
) (
m+1
1
)
. . .
(
m+1
p−1
)
...
...(
m+p−1
0
) (
m+p−1
1
)
. . .
(
m+p−1
p−1
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= ∆(m, p− 1).
Por tanto
∆(m, p) = ∆(m, p− 1) = ∆(m, p− 2) = . . . = ∆(m, 1)
=
∣∣∣∣ (m0 ) (m1 )(m+1
0
) (
m+1
1
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1 m1 m+ 1
∣∣∣∣ = 1.
8.11. Producto de enteros que son suma de cuatro
cuadrados de enteros
Demostrar que el producto de dos números enteros, cada uno de ellos suma
de cuatro cuadrados de enteros, es también la suma de cuatro cuadrados de
enteros.
Sugerencia: considerar determinantes de la forma
det
[
z −w
w z
]
con z, w complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.
Solución. Sean z = x1 + iy1, w = x2 + iy2 con x1, y1, x2, y2 enteros.
Entonces,
m = det
[
z −w
w z
]
= zz + ww = |z|2 + |w|2 = x21 + y21 + x22 + y22
es decir, m es la suma de cuatro cuadrados de enteros.
	Determinantes sobre un cuerpo
	Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros