Definição de Função e seus Elementos

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA 
CÁLCULO DIFERENCIAL
PROF: LIC. DEUD SOTO P.
Definición 1. Función
Una función de un conjunto 𝑋 en un conjunto 𝑌 es una regla de 
correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥 en 𝑋 exactamente 
un elemento 𝑦 en 𝑌.
Una función suele denotarse por una letra como 𝑓, 𝑔 o ℎ. Entonces 
podemos representar una función 𝑓 de un conjunto 𝑋 en un conjunto 
𝑌 por medio de la notación 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌.
El conjunto 𝑋 se llama dominio de 𝑓. El conjunto de elementos 
correspondientes 𝑦 en el conjunto 𝑌 se denomina rango de la 
función. El único elemento 𝑦 en el rango que corresponde a un 
elemento 𝑥 en el dominio 𝑋 se denomina valor de la función en 𝑥, o 
imagen de 𝑥, y se escribe 𝑓 𝑥 . Esta expresión se lee “𝑓 de 𝑥” y se 
escribe 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Figura 1.
Observe en la Figura 1. que el rango de 𝑓 no necesariamente debe ser 
todo el conjunto 𝑌.
Algebraicamente, el rango de una función se puede encontrar 
despejando 𝑥 en la función.
Puesto que el valor de 𝑦 depende de la elección de 𝑥, 𝑦 se denomina 
variable dependiente; 𝑥 se denomina variable independiente.
Ejemplo 1: El área 𝐴 de un círculo depende de su radio 𝑟. La regla que
relaciona 𝐴 con 𝑟 está dada por la ecuación 𝐴 = 𝜋𝑟2. Es decir, que para
cada número positivo r hay asociado un valor de 𝐴, por lo que decimos
que 𝐴 es una función de 𝑟 . Por ejemplo, para un valor de 𝑟 = 3,
tenemos que
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 3 2 = 𝜋 9 = 9𝜋
Ejemplo 2: La regla para elevar el cubo de un número real está dada por
la ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥3 o 𝑦 = 𝑥3. Los valores de 𝑓 en 𝑥 = 2, 𝑥 = −3 y 𝑥 =
3
5 son:
𝑓 2 = 23 = 8
𝑓 −3 = −3 3 = −27
𝑓
3
5 =
3
5
3
= 5
1
3
3
= 5
3
3 = 5
 
9 
1 
2 
4 
5 
 
1 
2 
3 
 
A B 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 
Diagrama de flechas
El dominio de 𝑓 𝑥 es: 1, 2, 3
El rango de 𝑓 𝑥 es: 1, 4, 9
A partir de este momento consideraremos que los conjuntos 𝑋 y 𝑌 constan 
de números reales; así, la función 𝑓 se denomina función con valor real de 
una sola variable real.
En todos los análisis y ejercicios de este curso, las funciones se representan 
de varias formas:
• analítica, es decir, por medio de una fórmula como 𝑓 𝑥 = 𝑥2;
• verbal, es decir, mediante una descripción con palabras;
• numérica, es decir, mediante una tabla de valores numéricos; y
• visual, es decir, con una gráfica.
La grafica de una función 𝑓 nos da una imagen visual útil del comportamiento 
de la función. Dado que la coordenada 𝑦 de cualquier punto 𝑥, 𝑦 en el 
grafico es 𝑦 = 𝑓 𝑥 , podemos leer el valor de 𝑓 𝑥 de la gráfica como la altura 
de la gráfica por encima del punto 𝑥 (véase la Figura 2).
Figura 2.
La gráfica de 𝑓 también permite tener una imagen visual del dominio de 𝑓
en el eje 𝑥 y su rango en el eje 𝑦 como en el Figura 4.
Figura 3.
Ejemplo 3: La gráfica de una función 𝑓 se muestra en la Figura 4.
a) Encuentre los valores de 𝑓 1 y 𝑓 7 .
b) ¿Cuál es el dominio y el rango de 𝑓?
Figura 4.
Ejemplo 4: Determine el dominio de
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 4
b) 𝑔 𝑥 =
5𝑥
𝑥2−3𝑥−4
Solución: a) Tenemos que
2𝑥 + 4 ≥ 0
2𝑥 ≥ −4
𝑥 ≥ −2
Luego el dominio de 𝑓 es el intervalo ሾ −2,∞ .
a) Puesto que el denominador de 𝑔 𝑥 no puede ser cero, debemos 
buscar los valores para los cuales este es igual a cero. Es decir,
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 − 4 𝑥 + 1 = 0
De donde 
𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 = 4
𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1
Luego, el dominio de 𝑔 𝑥 es el conjunto de todos los números reales 
excepto 𝑥 = −1 y 𝑥 = 4.
Lo que podemos escribir utilizando la notación de conjunto, como: 
𝑥 ∈ Τℝ 𝑥 ≠ −1 ∧ 𝑥 ≠ 4
Ejemplo 5: Trace la gráfica y encuentre el dominio y rango de cada una de 
las siguientes
funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
b) 𝑔 𝑥 = 𝑥2
Solución: 
a) Como la expresión 2𝑥 − 1 está definida 
para todos los números reales, entonces el 
domino de 𝑓 es el conjunto ℝ de todos los 
números reales. La gráfica muestra que el 
rango también es ℝ.
Figura 5.
b) El dominio de 𝑔 es ℝ y el rango es 𝑦 ∈ ℝ ∕ 𝑦 ≥ 0 = ሾ 0,∞
Figura 6.
Ejemplo 6: A partir de la gráfica de 𝑓 𝑥 = 4 + 𝑥 − 3 dada en la Figura 7. 
podemos ver que el dominio y el rango de 𝑓 son, respectivamente, ሾ 3,∞ y 
ሾ 4,∞ . 
Figura 7.
PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL
Si toda recta vertical que corte la gráfica de una ecuación lo hace en un 
solo punto, entonces la gráfica es la gráfica de una función. La última 
declaración se denomina prueba de la recta vertical para una función.
Por otra parte, si alguna recta vertical corta la gráfica de una ecuación más 
de una vez, entonces la gráfica no es la gráfica de una función. 
Ejercicios: Encuentre el dominio y el rango de las siguientes funciones
a) 𝑓 𝑥 =
2
5
𝑥 +
1
2
b) 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 1
c) ℎ 𝑥 =
1
𝑥−2
d) 𝑝 𝑥 =
3𝑥−2
𝑥+3
e) ℎ 𝑥 =
1
𝑥2−4
f) 𝑓 𝑥 =
1
4−𝑥
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
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