TP1 Números Complejos [11-20]

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TP1 Números Complejos [11-20] 
 
11) Probar que |𝑧|2 = 𝑧𝑧̅ 
 Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, calculamos 𝑧𝑧̅ 
 𝑧𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑖𝑦 + 𝑖𝑦𝑥 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 
 = (√𝑥2 + 𝑦2)
2
= |𝑧|2 
12) Probar que |𝑧𝑤| = |𝑧||𝑤| 
 Por el prob. 11 (|𝑧|2 = 𝑧𝑧̅ ) y el prob. 9 ( 𝑧𝑤̅̅ ̅̅ = 𝑧 ̅�̅�), usando la propiedad 
asociativa, tenemos 
 |𝑧𝑤|2 = (𝑧𝑤) ( 𝑧𝑤̅̅ ̅̅ ) = (𝑧𝑧 ̅) (𝑤 �̅�) = |𝑧|2|𝑤|2 (1) 
 Usando la propiedad distributiva de la potenciación respecto del producto 
 |𝑧|2|𝑤|2 = (|𝑧||𝑤|)2 (2) 
 De (1) y (2), obtenemos 
 |𝑧𝑤|2 = (|𝑧||𝑤|)2 
 Como |𝑧𝑤| ≥ 0 y |𝑧||𝑤| ≥ 0, podemos “simplificar” los cuadrados 
 |𝑧𝑤| = |𝑧||𝑤| 
13) Usando las fórmulas 𝑧−1 =
�̅�
|𝑧|2
 y 
𝑧
𝑤
=
𝑧 �̅�
|𝑤|2
 , calcular (1 + 3𝑖)−1, 
2+𝑖
5−𝑖
 
 (1 + 3𝑖)−1 = 
1+3𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
|1+3𝑖|2
=
1−3𝑖
(√10)
2 =
1
10
−
3
10
𝑖 
 
2+𝑖
5−𝑖
=
(2+𝑖)(5−𝑖̅̅ ̅̅ ̅)
|5−𝑖|2
=
(2+𝑖)(5+𝑖)
|5−𝑖|2
=
9+7𝑖
26
=
9
26
+
7
26
𝑖 
14) Probar que |𝑅𝑒(𝑧)| ≤ |𝑧|, |𝐼𝑚(𝑧)| ≤ |𝑧| (Usar 𝑎2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2, √𝑎2 = |𝑎|) 
 Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖. Usando la 1ra ayuda, una propiedad de monotonía de la raíz 
cuadrada y la 2da ayuda, podemos escribir 
𝑥2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ⇒ √𝑥2 ≤ √𝑥2 + 𝑦2 ⇒ |𝑥| ≤ √𝑥2 + 𝑦2 
 Por def. de parte real y def. de módulo, obtenemos |𝑅𝑒(𝑧)| ≤ |𝑧|. 
 Usando 𝑏2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2, √𝑏2 = |𝑏| se prueba la 2da desigualdad. 
15) Describimos los conjuntos de puntos del plano complejo determinados por las 
ecuaciones o inecuaciones 
 
• 𝑅𝑒[(1 + 𝑖)𝑧 − 1] = 0 
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Expresamos 𝑅𝑒[(1 + 𝑖)𝑧 − 1] en términos de 𝑥 e 𝑦. 
 (1 + 𝑖)𝑧 − 1 = (1 + 𝑖)(𝑥 + 𝑖𝑦) − 1 = 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑖𝑥 − 𝑦 − 1 
 = (𝑥 − 𝑦 − 1) + 𝑖(𝑦 + 𝑥) 
 Por lo tanto, 𝑅𝑒[(1 + 𝑖)𝑧 − 1] = 𝑥 − 𝑦 − 1. La ecuación dada equivale a 
 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
 El conjunto de puntos definido por la ecuación es la recta 𝑦 = 𝑥 − 1. 
 
• |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1| 
 Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 
 |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1| ⇔ |𝑥 + 𝑖𝑦 − 𝑖| = |𝑥 + 𝑖𝑦 − 1| 
 ⇔ |𝑥 + 𝑖(𝑦 − 1)| = |(𝑥 − 1) + 𝑖𝑦| 
 ⇔ √𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = √(𝑥 − 1)2 + 𝑦2 
 ⇔ 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 
 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 
 ⟺ 𝑦 = 𝑥 
 El conjunto de puntos definido por la ec. |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1| es la recta 𝑦 = 𝑥. 
• |𝑧 − 𝑖| = 4|𝑧 + 1| 
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 
 |(𝑥 + 𝑖𝑦) − 𝑖| = 4|(𝑥 + 𝑖𝑦) + 1| 
 |(𝑥 + 𝑖(𝑦 − 1)| = 4|(𝑥 + 1) + 𝑖𝑦| 
 √𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 4√(𝑥 + 1)2 + 𝑦2 
 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 16[(𝑥 + 1)2 + 𝑦2] 
 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 16 (𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2) 
 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 16 𝑥2 + 32𝑥 + 16 + 16 𝑦2 
 Luego, 
 15 𝑥2 + 15 𝑦2 + 32 𝑥 + 2𝑦 = −15 
 𝑥2 + 𝑦2 +
32
15
 𝑥 +
2
15
𝑦 = −1 
 Completamos cuadrados 
 (𝑥2 +
32
15
 𝑥 + (
16
15
)
2
) + (𝑦2 +
2
15
𝑦 + (
1
15
)
2
) = −1 + (
16
15
)
2
+ (
1
15
)
2
 
 (𝑥 +
16
15
)
2
+ (𝑦 +
1
15
)
2
=
32
152
 
 (𝑥 +
16
15
)
2
+ (𝑦 +
1
15
)
2
= (
√32
15
)
2
 
 El conjunto de puntos definido por la ec. es la circunferencia de centro 
(−
16
15
, −
1
15
) y radio 
√32
15
. 
• |𝑧 − 2| = 𝑅𝑒(𝑧) 
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 
 |𝑥 + 𝑖𝑦 − 2| = 𝑥 
 Notemos que debe ser 𝑥 ≥ 0 porque el módulo de un complejo (en el lado 
izquierdo) es un real mayor o igual a cero. 
 Podemos escribir 
 |(𝑥 − 2) + 𝑖𝑦| = 𝑥 
 √(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 𝑥 
 (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 𝑥2 
 𝑦2 = 4𝑥 − 4 
 Notemos que debe ser 4𝑥 − 4 ≥ 0 porque el cuadrado de un real (en el lado 
izquierdo) es un real mayor o igual a cero. Es decir, debe ser 𝑥 ≥ 1. 
 Entre 𝑥 ≥ 0 y 𝑥 ≥ 1, la condición dominante es 𝑥 ≥ 1 ( 𝑥 ≥ 1 implica 𝑥 ≥ 0). 
 El conjunto de puntos definido por la ec. es la parábola 𝑥 =
𝑦2
4
⁄ + 1, de eje 
horizontal 𝑦 = 0, vértice (1,0) y concavidad hacia la derecha. 
 
16) Probar que |𝑧3 + 3𝑧2 − 2𝑧 + 1| < 25, si |𝑧| < 2 
 (Usar la desigualdad |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| y la propiedad |𝑎𝑧𝑛| = |𝑎||𝑧|𝑛 ) 
|𝑧3 + 3𝑧2 − 2𝑧 + 1| ≤ |𝑧3| + |3 𝑧2| + |−2 𝑧| + |1| = |𝑧|3 + 3 |𝑧|2 + 2|𝑧| + 1 (1) 
 Si |𝑧| < 2, entonces 
 |𝑧|3 < 23 = 8, 3|𝑧|2 < 3 ∙ 22 = 12, 2|𝑧| < 2 ∙ 2 = 4 
 Estas desigualdades implican que 
 |𝑧|3 + 3 |𝑧|2 + 2|𝑧| + 1 < 25 (2) 
 De (1) y (2), obtenemos 
|𝑧3 + 3𝑧2 − 2𝑧 + 1| < 25 
17) Probar que |𝑅𝑒(2 + 𝑧̅ + 𝑧3)| ≤ 4, si 𝑧 está en el círculo cerrado |𝑧| ≤ 1. 
 (Usar la primera desigualdad del prob. 14, la desigualdad triangular, …) 
 Por el prob. 14, tenemos que |𝑅𝑒(𝑧)| ≤ |𝑧|, entonces 
 |𝑅𝑒(2 + 𝑧̅ + 𝑧3)| ≤ |2 + 𝑧̅ + 𝑧3| ≤ |2| + | 𝑧̅ | + |𝑧3| = 2 + |𝑧| + |𝑧|3 (1) 
 Si |𝑧| ≤ 1, se tiene que |𝑧|3 ≤ 13 = 1, entonces 
 2 + |𝑧| + |𝑧|3 ≤ 4 (2) 
 De (1) y (2), obtenemos 
|𝑅𝑒(2 + 𝑧̅ + 𝑧3)| ≤ 4 
 
18) Hallar una cota superior para |3𝑧2 + 2𝑧 + 1|, si |𝑧| ≤ 1. 
 Debemos encontrar un real positivo 𝑀 tal que |3𝑧2 + 2𝑧 + 1| ≤ 𝑀. 
 |3𝑧2 + 2𝑧 + 1| ≤ |3𝑧2| + |2𝑧 | + |1| = 3 |𝑧|2 + 2|𝑧 | + 1 (1) 
 Si |𝑧| ≤ 1, entonces 
 3|𝑧|2 ≤ 3 ∙ 12 = 3, 2|𝑧| ≤ 2 ∙ 1 = 2 
 Estas desigualdades implican que 
 3 |𝑧|2 + 2|𝑧 | + 1 ≤ 6 (2) 
 De (1) y (2), obtenemos 
 |3𝑧2 + 2𝑧 + 1| ≤ 6 
 
19) Hallamos los argumentos y los conjuntos-argumento de los números complejos: 
−10, −3𝑖, 1 + 𝑖, −√3 + 𝑖. 
 Recordamos la def. de función argumento y la def. de conjunto-argumento 
arg(𝑧) = {
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
|𝑧|
) , 𝑠𝑖 𝑦 ≥ 0
−𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
|𝑧|
) , 𝑠𝑖 𝑦 < 0
 
 
𝐴𝑟𝑔(𝑧) = {arg(𝑧) + 2𝜋𝑘/𝑘 ∈ ℤ} = arg(𝑧) + 2𝜋ℤ 
 
• 𝑧 = −10 
 arg(−10) = arccos (
−10
|−10|
) = arccos(−1) = 𝜋 
 𝐴𝑟𝑔(−10) = 𝜋 + 2 𝜋 ℤ 
 
• 𝑧 = −3 𝑖 
 arg(− 3 𝑖) = − arccos (
0
|−3𝑖|
) = arccos(0) = − 𝜋 2⁄ 
 𝐴𝑟𝑔(−3 𝑖) = − 𝜋 2⁄ + 2 𝜋 ℤ 
 
• 𝑧 = 1 + 𝑖 
 arg(1 + 𝑖) = arccos (
1
|1+𝑖|
) = arccos (
1
√2
) = 𝜋 4⁄ 
 𝐴𝑟𝑔(1 + 𝑖) = 𝜋 4⁄ + 2 𝜋ℤ 
 
• 𝑧 = −√3 + 𝑖 
 arg(−√3 + 𝑖) = arccos (
−√3
|−√3+ 𝑖|
) = arccos (
−√3
2
) = 5𝜋 6⁄ 
 𝐴𝑟𝑔(−√3 + 𝑖) = 5𝜋 6⁄ + 2 𝜋 ℤ 
 
20) Expresamos los números complejos −2 + 2𝑖, −7𝑖, 8 + 𝑖 en forma trigonométrica. 
 Recordamos la forma trigonométrica de un complejo 
 𝑧 = |𝑧| 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ 𝐴𝑟𝑔 (𝑧) 
• 𝑧 = −2 + 2𝑖 
 −2 + 2𝑖 = |−2 + 2𝑖| 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ 𝐴𝑟𝑔 (−2 + 2𝑖) 
 Calculamos |−2 + 2𝑖|, 𝑎𝑟𝑔 (−2 + 2𝑖) y 𝐴𝑟𝑔 (−2 + 2𝑖) 
 |−2 + 2𝑖| = √8 
 𝑎𝑟𝑔 (−2 + 2𝑖) = arccos (
−2
√8
) = arccos (
−2
2√2
) = arccos (
−1
√2
) = 3𝜋 4⁄ 
 𝐴𝑟𝑔 (−2 + 2𝑖) = 3𝜋 4⁄ + 2 𝜋 ℤ 
 La forma trigonométrica es 
 −2 + 2𝑖 = √8 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ 3𝜋 4⁄ + 2 𝜋 ℤ 
 
 
• 𝑧 = −7𝑖 
 −7𝑖 = |−7𝑖| 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ 𝐴𝑟𝑔 (−7𝑖) 
 
 |−7𝑖| = 7 
 𝑎𝑟𝑔 (−7𝑖) = − arccos (
0
7
) = − arccos 0 = −
𝜋
2
 
 
 −7𝑖 = 7 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ −
𝜋
2
+ 2 𝜋 ℤ 
 
• 𝑧 = 8 + 𝑖 
 8 + 𝑖 = |8 + 𝑖| 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ 𝐴𝑟𝑔 (8 + 𝑖) 
 
 |8 + 𝑖| = √65 
 𝑎𝑟𝑔 (8 + 𝑖) = arccos (
8
√65
) 
 
 8 + 𝑖 = √65 𝑐𝑖𝑠 (𝜃), 𝜃 ∈ arccos (
8
√65
) + 2 𝜋 ℤ