CIENCIAS BASICAS - (EM)

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EXPLOTACIÓN DE MINAS
CIENCIAS BÁSICAS
APLICADA
Saber, Saber hacer, Saber ser
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 1 
	
	
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
																																																																																										
 
1. LOS	NUMEROS	RACIONALES ................................................................................ 3 
2. OPERACIONES	BASICAS ...................................................................................... 10 
3. REGLA	DE	TRES	SIMPLE ...................................................................................... 21 
4. UNIDADES	DE	MEDIDA ....................................................................................... 24 
5. AREAS	Y	VOLUMENES ........................................................................................ 30 
6. ECUACIONES	DE	1ER.	GRADO ............................................................................ 38 
7. ANGULOS ............................................................................................................ 41 
8. FUNCIONES	TRIGONOMETRICAS	DE	UN	ANGULO	AGUDO	EN	UN	TRIANGULO					
RECTANGULO ......................................................................................................... 45 
9. LOGARITMO ....................................................................................................... 50 
	
	 	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
TABLA DE 
CONTENIDOS 
Manual del estudiante 
2 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 3 
	
	
 
	
1	
	
LOS	NÚMEROS	RACIONALES	
 
Los	Números	Racionales		
	
Los	números	racionales	son	todos	los	números	que	empleamos	en	nuestro	diario	quehacer,	para	cuantificar	
los	objetos	que	empleamos;	ya	sea	para	contar,	sacar	cuentas,	hacer	pagos,	pesar	alimentos,	etc.		
	
Los	 números	 racionales	 están	 conformados	 por	 los	 números	 enteros	 y	 los	 números	 fraccionarios,	 o	
quebrados:	
	
Q	=	{…	-4,	-9/2,	-3,	-2,	-1,	-1/4,		0,	½,		1,	3/2,		2,	3,	4,	...}	
	
Los	Números	Naturales		
Los	números	naturales		surgen	de	la	necesidad	de	contar,	de	enumerar:	
	
N	={1,2,3,4...32,	…,	103,				584,	…}	
	
Ejemplos:	4	niños,	5	perritos,	2	jumbos,	7	amigos,	850	soles,	…	etc.		
	
Los	Números	Enteros		
Cuando	se	necesita	además	restar	surgen	los	números	enteros		
=	{	...-3,	-2,	-1,	0,	1,	2,	3,...}	
	
	
	
	
	
	
	
 
	
	
	
N
Q Z 0
Z
#´s fraccionarios
Elemento neutro
racionales
enteros
naturales
enteros
Manual del estudiante 
4 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Números	Fraccionarios	
 
Se	define	como	fracción	a	toda	expresión	de	la	forma	
B
A
	con	las	siguientes	condiciones:		
	
- A	y	B	son	números	enteros		
- B	≠	0		
- Al	simplificar	el	número	no	se	convierta	en	entero.		
	
B
A
	
 
La	 fracción	 representa	 una	 parte	 de	 la	 división	 de	 una	 unidad	 en	 una	 cantidad	 determinada	 de	 partes	
iguales.		
	
Ejemplo	1:	¿Qué	fracción	del	total	es	el	área	sombreada?		
	
	 	 	 	 	
	 	 	 	 	
 
Solución:	 El	 rectángulo	 está	 dividido	 en	 10	 rectangulitos	 del	mismo	 tamaño	 por	 lo	 que	 cada	 uno	 de	 los	
rectangulitos	sería	la	décima	parte	del	total	(1/10)		
 
 														1	 					2	 					3	
1/10	 1/10	 1/10	 1/10	 1/10	
1/10	 1/10	 1/10	 1/10	 1/10	
 
 
Como	son	tres	cuadrados	sería	tres	décimos	por	lo	tanto	la	respuesta	es:	3/10	
 
Ejemplo	2:	¿Rigoberto	quiere	compartir	una	naranja	con	sus	tres	amigos,	en	cuantas	partes	debe	partirla?	
¿Qué	fracción	le	tocará	a	cada	uno?	
 
 
 
 
	
	
	
	
Solución:	Como	son	en	total	cuatro	amigos,	incluyendo	a	Rigoberto,	tendrá	que	partir	su	naranja	en	cuatro	
partes	iguales:		
	
1/4	
1/4	1/4	
1/4	 A cada uno le tocará la cuarta parte es 
decir ¼. 
Numerador	
Denominador	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 5 
	
	
 
	
Fracciones	Homogéneas		
Son	aquellas	fracciones	que	tienen	denominador	común	(el	mismo	denominador)		
	
Ejemplos		
 
5
1 ,
5
4- ,
5
893 ,
5
7 ,
5
2
									son	fracciones	homogéneas		
	
11
1111 ,
11
5- ,
11
15 ,
11
3- ,
11
1
			son	fracciones	homogéneas		
	
Fracciones	Heterogéneas		
Son	aquellas	fracciones	que	tienen	denominadores	diferentes		
	
Ejemplos		
	
11
12 ,
16
3- ,
9
8 ,
5
7 ,
3
1
			son	fracciones	heterogéneas		
	
Números	decimales		
Los	números	fraccionarios	decimales	pueden	expresarse	en	otra	forma	llamada	número	decimal.	A	su	vez,	
los	números	decimales	podrán	también	expresarse	como	fracciones.		
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manual del estudiante 
6 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Otros	ejemplos:		
Lectura	y	escritura	de	las	fracciones	decimales		
	
Ejemplos:		
Observa	 con	atención	 los	dos	 ejemplos	que	 se	dan	para	que	 luego	 los	puedas	 aplicar	 a	 la	 lectura	de	 los	
decimales.	
	
1. Dada	la	fracción	decimal	:	0,563	249	78	determinamos	el	valor	relativo	de	cada	cifra	decimal:		
	
 0, 5 6 3 2 4 9 7 8 1 
 
 0 unidades 
 5 décimas 
 6 centésimas 
 3 milésimas 
 2 diezmilésimas 
 4 cienmilésimas 
 9 millonésimas 
 7 diezmillonésimas 
 8 cienmillonésimas 
 1 milmillonésimas 
 
2. observa	y	ten	en	cuenta	las	siguientes	lecturas	en	forma	progresiva	de	la	fracción	decimal	dada:	
 
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 7 
	
	
 
	
Aproximación	de	Decimales		
	
Podemos	aproximar	los	decimales	a	una,	dos,		tres	cifras	decimales	según	lo	necesitemos;	esto	funciona	de	
la	siguiente	manera:	
	
Ejemplo:		
Tenemos	el	número	decimal:		
	
										2,67827	
	
	
y	queremos	aproximarlo	a	la	centésima	
Para	 aproximar	 decimales	 se	 comienza	 evaluando	 la	 última	 cifra,	 si	 esta	 es	 mayor	 o	 igual	 que	 cinco	 se	
aproxima	la	siguiente	cifra	sumándole	la	unidad,	es	decir:		
	
	
2,67827	
	
	
Aproximando	tenemos:			 	 2,6783	
	
	
Como	tenemos	que	aproximar	a	la	centésima	que	es	la	segunda	posición	decimal,	continuamos;	si	la	última	
cifra	es	menor	que	cinco	la	cifra	siguiente	se	mantiene:		
	
	
2,6783	
	
	
Aproximando:		
	
	
2,678	
	
	
Continuamos:	 	 	 	 2,678	
	
	
	
La	aproximación	al	centésimo	será:		
	
	
2,68	
Ultima cifra = 7 > 5 
Ultima cifra = 3< 5 
Ultima cifra = 8 > 5 
décima	
centésima	
Manual del estudiante 
8 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Ejercicios	con	decimales:	
	
	
Lee	los	siguientes	números	decimales	y	aproxímalos	a	la	centésima	
	
Notación	
decimal	
Lectura		 Aproximación	
0,7	 							
42,	35		 						
0,008	 						
0,09	 			
0,328	 						
18,0245					
0,025	48	
23,4	
0,0245	
0,042	705	1	
125,054	
467,054	
0,0001	
0,01	
0,726	
39,648	62	
2,019	538	
7	décimas		
42	unidades	35	céntimas		
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
_________________________________________________	
0,70	
42,35	
0.01	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
__________	
 
 
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 9 
	
	
 
	
Los 	números	Racionales 	
1 . Efectuar 	 la 	s igu iente 	operac ión. 	
	
	
2 . Efectuar 	 la 	s igu iente 	operac ión. 	
…	
	
3 . Efectuar 	 la 	s igu iente 	operac ión. 	
	
	
	
4 . Redondear 	3 ,1416	 	a 	 la 	centés ima. 	
	
5 . Redondear 	1 ,2635a 	 la 	centés ima. 	
	
6 . Elena	 va 	 de	 compras 	 con	 180	 so les . 	 Se 	 gasta 	 3/5	 de	 esa 	 cant idad	 ¿Cuánto	 le 	
queda?	
	
7 . Dos	 automóvi les 	 A 	 y 	 B 	 hacen	 un	mismo	 trayecto	 de	 572	 km.	 E l 	 automóvi l 	 A 	 l leva 	
recorr idos 	 los 	 5/11	 del 	 trayecto	 cuando	 e l 	 B 	 ha	 recorr ido	 los 	 6/13	 del 	 mismo. 	
¿Cuál 	de 	 los 	dos 	va 	pr imero?	¿Cuántos 	k i lómetros 	 l leva 	recorr idos 	cada	uno?	
	
8 . En	 las 	 e lecc iones	 loca les 	 ce lebradas 	 en	 un	 pueblo, 	 3/11	 de	 los 	 votos 	 fueron	 para 	
e l 	 part ido	 A, 	 3/10	 para 	 e l 	 part ido	 B, 	 5/14	 para 	 C 	 y 	 e l 	 resto 	 para 	 e l 	 part ido	 D. 	 E l 	
tota l 	de 	votos 	ha	s ido	de	15	400. 	Calcu lar : 	E l 	número	de	votos 	obtenidos 	por 	cada	
part ido. 	
	
9 . Un	padre	 reparte 	 entre 	 sus 	 h i jos 	 1 	 800	 so les . 	 A l 	mayor 	 le 	 da 	 4/9	 de	 esa 	 cant idad, 	
a l 	mediano	1/3	y 	a l 	menor 	e l 	 resto. 	¿Qué	cant idad	rec ib ió 	cada	uno? 	
	
10. Al ic ia 	 d ispone	 de	 300	 so les 	 para 	 compras 	 react ivos. 	 E l 	 jueves 	 gastó 	 2/5 	 de	 esa 	
cant idad	 y 	 e l 	 sábado	 los 	 3/4 	 de	 lo 	 que	 le 	 quedaba. 	 ¿Cuánto	 gastó 	 cada	 d ía 	 y 	
cuánto	 le 	queda	a l 	 f ina l? 	
 
 
 
Manual del estudiante 
10 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
2	
	
OPERACIONES	BÁSICAS	
	
Ley	de	Signos		
	
Suma	y	Resta		
Signos	iguales	se	suman	y	signos	diferentes	se	restan		
	
Ø Cuando	se	resta,	el	resultado	lleva	el	signo	del	mayor	en	valor	nominal.		
Ejemplo:		
+10-22	=	-	12	 	 	 +5		-13	=	-8	
	
Ø Cuando	se	suma,	el	resultado	lleva	el	signo	en	común.		
Ejemplo:		
+9	+	7	=	+16	 	 	 -6		-	11	=	-17	
	
Multiplicación	y	División	
Signos	 iguales	 multiplicados	 o	 divididos	 entre	 sí	 resulta	 positivo	 (+),	 signos	 diferentes	 multiplicados	 o	
divididos	entre	sí	resulta	negativo	(-).	
	
Es	decir:		
Multiplicación	
(+)	x	(+)	=	(+)	
(-)		x		(-)	=	(+)	
(-)		x		(+)	=	(-)	
(+)		x		(-)	=	(-)	
	
División	
)(
)(
)(
+=
+
+
	
	
)(
)(
)(
+=
−
−
	
	
)(
)(
)(
−=
+
−
	
	
)(
)(
)(
−=
−
+
	
	
Ejemplo:	
(+5)	x	(+2)	=	+10	 	 	 (+5)	x	(-2)	=	-	10	
	
																																														(-5)	x	(-2)	=	+10	 	 	 				(-5)	x	(+2)	=		-10	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 11 
	
	
 
	
Operaciones	con	Fracciones	
	
Suma/Resta	de	Fracciones	Homogéneas		
Para	 hallar	 el	 resultado	 de	 la	 suma	 o	 la	 resta	 de	 fracciones	 homogéneas	 se	 suman	 o	 se	 restan	 los	
numeradores	y	denominador	final	sigue	siendo	el	mismo	denominador	común.	
	
Ejemplos		
	
	
4
12
4
111
4
11 
4
1
=
+
=+ 	
	
	
3
5
3
27 
3
2 
3
7
=
−
=− 	
	
	
5
13
5
4872
5
4- 
5
8 
5
7 
5
2
=
−++
=+++ 			
	
	
Suma/Resta	de	Fracciones	Heterogéneas		
	
Definiciones	Previas		
	
Mínimo	Común	Múltiplo		
Se	llama	mínimo	común	(MCM)	de	dos	o	más	números	al	menor	múltiplo	común	de	esos	números.		
	
Ejemplo:	Hallar	el	mínimo	común	múltiplo	de	12,	18	y	4:		
	
Solución:		
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6									 	 	9	 	 2				2	
	3	 	 	9	 	 1				3	
	1	 	 	3	 	 1				3	
	1														 	1	 1	 	
 
Mínimo	Común	Múltiplo	de	12,	18	y	4	=	2	x	2	x	3	=	36	
	
	
Manual del estudiante 
12 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Explicación	
	
1.		Tenemos:	12,	18	y	4	y	vamos	a	evaluar	que	divisores	son	comunes	a	ellos	y	dividiremos	hasta	que	cada	
uno	quede	reducido	a	la	unidad	(1).	Primero	colocamos	los	números	en	una	sola	línea:		
	
12	 				-	 18	 			-	 4	
	
2.	 	 	 Luego	evaluaremos	uno	a	uno	comenzando	por	evaluar	 si	 tienen	mitad	 (divisibles	entre	2),	 si	 tienen	
tercia	(divisibles	entre	3)	y	así	sucesivamente:		
	
a)	Evaluamos	si	tienen	mitad,	procedemos	a	dividir	entre	2	
	
	
		 12					2	 	 18			2	 	 	 4		2	
	 									6	 	 							9	 	 					 				2	 	
	
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6									 	 9	 	 2					
	
	
	
b)	De	igual	manera	continuamos	con	las	cantidades	resultantes:		
	
	
	 		6					2	 	 	9				2	 	 2		2	
	 									3	 	 no	tiene	 				1	 	
	
Como	nueve	no	tiene	mitad,	continua	igual	y	no	se		le	divide	todavía.		
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6									 	 	9	 	 2				2	
	3	 	 	9	 	 1	
	
	
c)	Se	continúa		como	lo	hicimos	anteriormente	con	los	números	resultantes	
Evaluamos	y	como	ninguno	tiene	mitad;	evaluamos	ahora	si	alguno	tiene	tercia	y	verificamos	que	3	y	9	se	
pueden	dividir	entre	3	y	como	la	tercera	columna	tenemos	la	unidad	(1)	no	es	necesario	evaluar:	
	
	
	 		3					3	 	 			9				3	 	 1		(ya	no	es	necesario)		
	 									1	 	 									3	 	 					 	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 13 
	
	
 
	
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6									 	 	9	 	 2				2	
	3	 	 	9	 	 1				3	
1	 	 	3	 	 1	
	
c)	Hacemos	lo	mismo	una	vez	más	y	3	tiene	tercia	y	al	final	obtenemos:		
	
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6							 			 	9	 	 2				2	
	3	 	 	9	 	 1				3	
	1	 	 	3	 	 1				3	
	1	 	 	1	 	 1	
	
En	 este	momento	 se	 finaliza	 pues	 hemos	 llegado	 a	 la	 unidad	 (1)	 en	 todas	 las	 columnas.	 	 A	 partir	 de	 los	
números	obtenidos	se	calcula	el	Mínimo	común	múltiplo:		
	
12	 -	 18	 -	 4				2				
	6									 		 9	 	 2				2	
	3	 	 	9	 	 1				3	
	1	 	 	3	 	 1				3	
	1	 	1	 1	
	
Mínimo	Común	Múltiplo	de	12,	18	y	4	=	2	x	2	x	3	x	3	=	36	
Suma	y	Resta	de	Fracciones	Heterogéneas	
	
1.	 Para	 sumar	 fracciones	 heterogéneas	 se	 debe	 encontrar	 primero	 el	 Mínimo	 común	 Múltiplo	 de	 los	
denominadores,	el	cual	será	al	final	el	denominador	del	resultado:	
	
Ejemplo:	
=++
3
2
2
1 
4
3
	
	
Debemos	encontrar	el	M.C.M.	de	4,	2	y3:		
	
4	 -	 2	 -	 3		2	 	
2	 -	 1	 -	 3		2	 	
1	 -	 1	 -	 3		3	
1	 -	 1	 -	 1	 	
	
	
M.C.M.	(4,2,3)	=	2	x	2	x	3	=	12	
	
Manual del estudiante 
14 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
3. El	segundo	paso	es	dividir	el	mínimo	común	múltiplo	entre	cada	numerador	y	los	números	obtenidos	se	
sumarán	y	esta	suma	será	el	denominador	final	del	resultado	final:		
	
12		4	=	3	 	 12	2	=	6		 12		3	=	4	 	
	
	
12
23
12
869
12
241633
3
2
2
1 
4
3
=
++
=
++
=++
XXX
	
	
Ejemplos:		
	
a)		 =−+ 3
5
12
1 
2
3
		
	
M.C.M.	(2,12,3)=		 	 	 2	 -	 12	 -	 3		2		
	 	 	 	 1	 -	 6	 -	 3		2	
	 	 	 	 1	 -	 3	 -	 3		3	
	 	 	 	 1	 -	 1	 -	 1		 	
	
M.C.M.	=	2	x	2	x	3	=	12					Luego:			
	
Se	divide	el	M.C.M	entre	cada	numerador:		
	
12:	2	=	6	 	 12:12	=	1	 	 12:3	=	4	
	
12
1
12
20118
12
451163
3
5
12
1 
2
3 −
=
−+
=
−+
=−+
xxx
	
	
	
12
1
3
5
12
1 
2
3 −
==−+ 	
	
b)	 3
5
6
1 
7
2
=−+ 	 	
	
	
	
c)	 =+− 5
12
3
10 
2
13
		 	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 15 
	
	
 
	
Ejercicios	
Resolver:		
=−−
9
2
7
6 
5
1
	
	
	
=++
6
1
4
3 
3
2
	
	
	
Multiplicación	de	fracciones	
Para	hallar	el	resultado	de	multiplicar	fracciones	se	multiplican	los	numeradores	y	esta	multiplicación	será	
el	numerador	fina,	asimismo	se	multiplican	los	denominadores	y	este	será	el	denominador	final,	es	decir:		
 
15
2
35
21
3
2
5
1
==
x
xx 
 
Cuando al multiplicar se encuentra que uno de los numeradores tiene un divisor común con uno 
de los divisores se puede reducir: 
 
 
 
Ejemplos: 
a) 9
20
33
102
3
10
3
2
==
x
xx 
 
b) 8
1
241
111
2
1
4
1
1
1
2
7
12
1
7
3
===
xx
xxxxxx 
 
	
	
	
	
1	
1	 4	
1	
7
2
71
21
7
2
2
1
1
7
10
5
1
1
===
x
xxx
Manual del estudiante 
16 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Simplificación	de	Fracciones	
	
Definiciones	Previas		
Números	Primos	
Es	aquel	que	solo	se	puede	dividir	entre	dos	números:	entre	la	unidad	y	si	mismo.		
	
Ejemplo:		
2	 à		 porque		2	solo	se	puede	dividir	entre	1	y	entre	2.	1x2	=	2;	2:1	=	2;	2:2	=	1	
	
3	 	à	 3=	3x1	y	no	existen	otros	números	enteros	que	multiplicados	entre	si	den	3.		
	
13		 à		 13=	13x1 y no existen otros números enteros que multiplicados entre si den 13. 
 
Números	Primos	entre	Sí		
Dos	números	son	primos	entre	sí	cuando	no	tienen	divisores	comunes,	es	decir	cuando	ambos	números	no	
se	pueden	dividir	entre	ninguno	en	común;	Ejemplo:		
 
Ø 7 y 3 son primos entre si por que no tienen ningún divisor en común 
 
7= 7 x 13 = 3 x 1 
 
Ø 12 y 81 NO son primos entre sí 
 
12= 2 x 2 x 3 
81 = 3 x 3 x 3 x 3 
 
Ø 15 y 56 SI son números primos entre sí 
 
15 = 3 x 5 
56 = 7 x 2 x 2 x 2 
 
No	tienen	ningún	divisor	en	común,	por	lo	tanto	son	primos	entre	sí.	
	
Simplificación	de	fracciones		
Una	 forma	 de	 simplificar	 fracciones	 se	 halla	 primero	 los	 divisores	 comunes	 y	 luego	 puede	 simplificar	
dividiendo	el	numerador	y	el	denominador	entre	el	divisor	común,	se	lleva	a	cabo	esta	operación	hasta	que	
no	existan	divisores	comunes.		
	
Ejemplo:			
Simplificar:		
	
105
42
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 17 
	
	
 
	
Tenemos:		
42=	2	x	3	x	7	
	
105	=	3	x	5	x	7	
	
	
Podemos	escribir:		
105
42
=	 7 x 5 x 3
7 x 3 x 2
	
	
	
Recordemos	 que	 las	 fracciones	 representan	 divisiones	 del	 numerador	 entre	 el	 denominador	 y	 podemos	
eliminar	los	divisores	comunes	pues	se	anulan	entre	si.			
	
105
42
=	 5
2
151
112
7 x 5 x 3
7 x 3 x 2
==
XX
XX
	
	
		
5
2
105
42
=
	
 
	
Otro	ejemplo:	
Simplifica	las	siguientes	expresiones	y	marca	la	respuesta	correcta:	
	
Manual del estudiante 
18 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
1) =7024
7214
x
x
	
	
a)	 5
2
	 	 b)	 5
3
	 	 c)	 4
3
	 	 d)	 4
1
	
	
	
2) =6070
1480
x
x
	
	
a)	14
3
	 	 b)	15
7
	 c)	15
4
	 d)	14
5
	
	
	
	
3) =14x81
27x28
	
	
a)	2	 	 b)	 3
2
	 	 c)	 4
3
	 	 d)	 6
1
	
	
	
	
4) 1625
12564
x
x
	
	
a)	20	 	 b)	10	 	 c)	15	 	 d)	25	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 19 
	
	
 
	
Simpli f icando	más	fracc iones	
	
Ejemplo: 	
	
	
36
5
326
151
276466
95532
==
xx
xx
xx
xx
	
	
	
E jerc ic ios 	
• Simpl i f ica 	cada	expres ión	y 	marca	 la 	respuesta 	correcta: 	
	
	
1) =125x16x38
25x19x320
	
	
a)
5
3
	 	 b)	4	 	 c)
5
2
	 	 d)	2	
	
2) =90x343x18
45x81x49
	
	
a)
40
9
	 	 b)
4
7
	 	 c)	
28
9
	 d) 5
2
	
	
3) =
81x700x150
243x750x4001
	
	
a)30	 	 b)40	 		 c)20	 	 d)10	
	
4) =
51x21x315
34x350x111
	
a)
189
740
	 		 b)
189
737
		 c)
189
748
	 	 d)
189
746
	
	
5) =27x35x104
45x34x21
	
a)
52
15
	 		 b)
52
17
	 	 c)
52
19
	 	 d)
52
13
	
	
1	 5	 1	
6	 2	 3	
Manual del estudiante 
20 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
OPERACIONES	BASICAS	
	
1. Hallar	el	máximo	común	divisor	de	los	siguientes	pares	de	números.	
40	y	60	
	
2. Hallar	el	máximo	común	divisor	de	los	siguientes	pares	de	números.	
225	y	300	 	
	 	
3. Hallar	el	máximo	común	divisor	de	180,	252,	594	
	
4. Hallar	el	mínimo	común	múltiplo	de	32	y	68	
	
	
5. Hallar	el	mínimo	común	múltiplo	de	320	y	640	
	
6. Hallar	el	mínimo	común	múltiplo	de	140,	325	y	490	
	
	
7. Simplificar:	
	
	
8. Simplificar:									
	
	
9. Simplificar		
	
	
10. Simplificar:	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 21 
	
	
 
	
3	
	
REGLA	DE	TRES	SIMPLE	
	
Se	llama	razón	al	cociente	entre	dos	números	y	se	llama	proporción	a	la	igualdad	de		dos	razones. 
 
 
	
Los	problemas	en	los	que	los	elementos	mantienen	una	relación	proporcional	directa	o	inversa	se	resuelven	
mediante	la	regla	de	tres	simple.	
 
 
 
Cálculo	de	Porcentaje	
 
Ejemplos	
1.-	Si	9	metros	de	tela	cuestan	s/.	162¿cuánto	costara	7m	de	esta	tela?	
	
9m					→		S/.	162	
7m					→		S/.	X	
	
Menos	metros	de	tela	cuestan	menos		
	
Las	magnitudes	son	directamente	proporcionales	(varia	en	el	mismo	sentido)	
d	
Manual del estudiante 
22 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Formando	la	proporción	se	tiene:		
	
9/7	=162/X		→				9X	=	7x	162			→			X	=	(7x162)/9	
Rpta:	7m	de	tela	cuestan	s/.	126	
	
2.	Hallar	el	30%	de	900	soles	
Podemos	resolver	este	problema	con	una	regla	de	tres	simple:	
	
Cantidad	
(soles)	
%	
900	 100	
x	 30	
	
Tenemos:		
X	=	 270
100
30900
=
x
	
	
Por	lo	tanto	30%	de	900	soles	es	270	soles.		
Ejercicios		
1.	Completar:		
4			personas	hacen	una	obra	en	40	días		
1			persona	hará	esa	obra	en	160	días		
10		personas	harán	la	obra	en…….	días		
40		personas	harán	la	obra	en.…….días		
…..personas		harán	la	obra	en	5	días	
	
2.	Hallar:		
	 a)	40%		de	1600					 	
	 	
b)	50%	de	25000	 	
		
c)	35%	de	420	
3.-	 4	obreros	ganan	300	dólares	¿cuantos	ganan	6	obreros?	
4.-	 4	obreros	efectúan	un	trabajo	en	300	horas	¿Cuántas	horas	necesitan	6		obreros?	
5.-	 2	obreros	necesitan	para	la	fabricación	de	20	piezas	torneadas	3	días	¿Cuántos	tiempo	necesitan	6	
obreros	para	fabricar	30	piezas	iguales?	
6.-	 18	 tornillos	 hexagonales	 cuestan	 20	 dólares	 ¿Cuánto	 cuestan	 5	 tornillos	 en	 soles?1Dólar	 =	 3.20	
soles	
7.-	 Una	bomba	transporta	en	2	horas	1200	l	de	agua	¿Cuánto	tiempo	se	necesita	para	vaciar	un	sótano	
inundado	de	2x1,5	x3	m?	
8.-	 Tres	aprendices	efectúan	un	trabajo	en	2,5	días	¿Cuánto	tiempo	necesitaran	dos	aprendices?	
9.-	 Un	 automóvil	 consume	 8,4	 litros	 de	 gasolina	 por	 100	 km.	 ¿Que	 trayecto	 puede	 recorrer	 con	 40	
litros	en	el	tanque?	
10.-	 Para	 la	obtención	de	40kg	de	bronce	 se	necesitan	2,4	 kg	de	estaño	¿Cuánto	estaño	es	necesario	
para	122kg	de	bronce?	
11.-	 Un	 obrero	 recibe	 como	 pago	 neto	 984,50	 soles.	 Las	 deducciones	 son	 del	 24%.	 Calcule	 el	 salario	
bruto.	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 23 
	
	
 
	
REGLA	DE	TRES	SIMPLE	
	
1. José	trabaja	los	sábados	cortando	el	césped	a	sus	vecinos.	Sabiendo	que	trabaja	todos	los	
sábados	las	mismas	horas	y	que	por	cada	6	días	cobra	150	soles,	¿cuánto	cobra	José	por	15	
días	de	trabajo?	
	
2. 100	litros	de	aceite	cuestan	189	soles.	¿Cuánto	cuestan	125	litros	del	mismo	producto?	
	
3. La	rapidez	del	viento	resulta	3m/s.	¿Cuánto	será	su	recorrido	en	un	minuto?	
	
4. En	un	día	de	trabajo	de	8	horas,	un	obrero	ha	hecho	10	cajas.	¿Cuántas	horas	tardara	en	
hacer	25	de	esas	mismas	cajas?	
	
5. Si	para	pintar	180	m2	se	necesitan	24	kg	de	pintura.	¿Cuantos	kg	se	necesitaran	para	pintar	
una	superficie	rectangular	de	12	m	de	largo	por	10	metros	de	ancho?	
	
6. Un	 trabajo	 puede	 ser	 realizado	 en	 42	 días.	 Si	 el	 plazo	 para	 terminarlo	 es	 de	 30	 días.	
¿Cuántos	obreros	deberán	aumentarse?	
	
7. Hallar		
	
a) El	20%	de	50	
b) El	15%	de	200		
	
8. Los	embalses	de	agua	que	abastecen	una	ciudad	tiene	una	capacidad	total	de	400	km3	y	se	
encuentra	al	27%	de	su	capacidad.	¿Cuantos	km3	de	agua	contiene	actualmente?	
	
9. En	una	población	de	7000	habitantes	el	80%		tiene	más	de	18	años.	Averigüe	el	número	de	
personas	mayores	de	esa	edad.	
	
10. Se	sabe	que	 la	parte	valiosa	de	un	mineral	es	 la	mena.	Si	un	mineral	 su	peso	 	es	de	5Kg	
cuanto	será	la	cantidad	de	mena	si	se	sabe	que	representa	el	20%	del	total.	
	
	
	
	
Manual del estudiante 
24 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
4	
	
UNIDADES	DE	MEDIDA	
	
Sistema	Internacional	de	Unidades	
Actualmente	rige	en	todo	el	mundo	el	Sistema	Internacional	(SI)	de	unidades,	si	bien	hay	que	señalar	que	
Estados	 Unidos	 sigue	 todavía	 en	 proceso	 de	 transición,	 desde	 que	 en	 1875	 adoptara	 formalmente	 el	
Sistema	Métrico	Decimal).		
	
Pese	 al	 gran	 coste	 que	 supone	 trabajar	 con	 sistemas	 incoherentes	 de	 unidades	 de	medida,	 debido	 a	 los	
frecuentes	errores	a	que	ello	da	 lugar	en	 la	práctica,	muchas	publicaciones	científicas	y	administraciones	
públicas	no	exigen	su	cumplimiento,	a	pesar	de	las	adopciones	y	exclusiones	legales	de	carácter	formativo	o	
industrial	vigentes	en	cada	país	(en	España	la	Ley	de	Pesas	y	Medidas	de	8	de	Julio	de	1892,	la	ley	88/1967	
de	8	de	Noviembre,	y	la	ley	3/1985	de	18	de	Marzo,	Norma	UNE	82100:1996).	
	
Como	rara	vez	se	penalizan	las	infracciones	administrativas	en	este	sentido,	y	toda	innovación	conlleva	un	
coste	de	adaptación	inicial	(e.g.	transición	al	euro),	sigue	siendo	muy	frecuente	ver	aparatos	destinados	a	
medir	presión	graduados	en	"kg/cm2",	por	ejemplo,	y	características	de	calderas	y	refrigeradores	medidas	
en	"calorías"	y	"frigorías",	respectivamente.	
	
Sistema	Legal	de	Unidades	de	Medida	del	Perú	(SLUMP)		
	
Ley	Nº	23560	
EL	SLUMP	establece	en	el	Perú	el	Sistema	de	Unidades	(SI),tal	como	es	aceptado	en	casi	todos	los	países	
del	mundo.	El	SLUMP	comprende:	
	
• Unidades	de	medida,	sus	definiciones	y	símbolos.	
• Prefijos,	sus	equivalencias	y	símbolos.	
• Reglas	de	uso	y	escritura	de	unidades,	múltiplos,	submúltiplos	y	símbolos.	
• Reglas	de	presentación	de	valores	numéricos,	de	fechas	y	del	tiempo.	
• Reglas	de	uso	de	unidades,	prefijos	y	valores	numéricos	en	cálculos,	conversión	y	redondeo.	
	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 25 
	
	
 
	
Unidades	SI	básicas.	
	
Magnitud	 Nombre	 Símbolo	
Longitud	 metro	 m	
Masa	 kilogramo	 kg	
Tiempo	 segundo	 s	
Intensidad	de	corriente	eléctrica	 ampere	 A	
Temperatura	termodinámica	 kelvin	 K	
Cantidad	de	sustancia		 mol	 mol	
Intensidad	luminosa	 candela	 cd	
	
	
Unidades	SI	derivadas	expresadas	a	partir	de	unidades	básicas	y	suplementarias.	
	
Magnitud	 Nombre	 Símbolo	
Superficie	 metro	cuadrado	 m2	
Volumen	 metro	cúbico	 m3	
Velocidad	 metro	por	segundo	 m/s	
Aceleración	 metro	por	segundo	cuadrado	 m/s2	
Número	de	ondas	 metro	a	la	potencia	menos	uno	 m-1	
Masa	en	volumen	 kilogramo	por	metro	cúbico	 kg/m3	
	
	
Unidad	de	velocidad	 Un	metro	por	segundo	(m/s	o	m·s-1)	es	la	velocidad	de	un	cuerpo	que,	con	
movimiento	uniforme,	recorre,	una	longitud	de	un	metro	en	1	segundo		
		
Unidad	de	aceleración	 Un	metro	 por	 segundo	 cuadrado	 (m/s2	 o	m·s-2)	 es	 la	 aceleración	 de	 un	
cuerpo,	 animado	de	movimiento	uniformemente	 variado,	 cuya	 velocidad	
varía	cada	segundo,	1	m/s.		
		
Unidad	de	velocidad	
angular	
Un	radián	por	segundo	(rad/s	o	rad·s-1)	es	la	velocidad	de	un	cuerpo	que,	
con	una	rotación	uniforme	alrededor	de	un	eje	 fijo,	gira	en	1	segundo,	1	
radián.		
		
	
	
	
Manual del estudiante 
26 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Prefijos	para	los	múltiplos	y	submúltiplos	de	las	unidades	del	SI	
	
Nombre	 Símbolo	 Valor	
giga	 G	 109	
mega	 M	 106	
kilo	 K	 103	
mili	 M	 10-3	
micro	 µ	 10-6	
nano	 N	 10-9	
pico	 P	 10-12	
	
Conversión	de	unidades	
	
TABLAS	DE	CONVERSIONES-	EQUIVALENCIAS	
Peso	
1	miligramo	(mg)	
1	gramo	(g)	=	1000	mg	=	0.348	oz.i.	
1	kilogramo	(kg)	=	1000	g	=	2.20	lb.i	=	2.17	lb.	e.	
1	tonelada	(t)	=	1000	kg	=	10	q.m.	
1	quintal	métrico	(qm)	=	100	kg	=	220,47	lb.i.	
1	libra	(lb)	=	0.45359	kg	=	16	oz	
1	onza	troy	(oz.	tr)	=	31.10	g	
1	tonelada	larga	(t.l.)	=	1016	kg	=	20	q.i.	
1	tonelada	corta	(t.c.)	=	907.18	kg	=	2000	lb.i.	=	0.89	t.l.	
1	quintal	inglés	(q.i.)	=	50.80	kg	=	112	lb.i.	
1	arroba	(arrob.)	=	11.50	kg	=	11500	g	
1	onza	española	(oz.e.)	=	28.76	g	
	
Longitud	
1	decámetro	(Dm)	=	10	m	
1	hectómetro	(Hm)	=	100	m	=	10	Dm	
1	kilómetro	(km)	=	1000	m	=	100	Dm	=	10	Hm	
1	metro	(m)	=	39.37	pulg	=	3.28	p.	=	1.19	v	
1	decímetro	(dm)	=	0.1	m.	=	10	cm	=	100	mm	
1	centímetro	(cm)	=	0.01	m	=	10	mm	=	0.3937	pulg	
1	milímetro	(mm)	=	0.001	m	
1	pulgada	(pulg)	=	0.0833	p.	=	0.0278	yd.	=	0.0254	m	
1	pie	(p)	=	12	pulg	=	0.3333	yd	=	0.3048	m	
1	yarda	(yd)	=	36	pulg	=	3	p	=	0.9144	m	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 27 
	
	
 
	
1	legua	terrestre	(leg.t.)	=	4.514	m	=	36	cd	
1	cuadra	(cd)	=	125.39	m	=	159	v	
1	vara	=	0.84	m	=	2.76	pulg	
1	micra	(mc)	=	0.001	mm	
1	milla	marina	(mill.m.)	=	1852	m	=	2025	yd	=	6080	p	
1	milla	inglese	(mill.i.)	=	1609	m	=	1760	yd	=	5280	p	
1	braza	(br)	=	1.83	m	=	2	yd	
	
Superficie	
1	milimetro	cuadrado	(mm2)	
1	centímetro	cuadrado	(cm2)=	100	mm2	
1	decímetro	cuadrado	(dm2)	=	100	cm2	=	10000	mm2	
1	centímetro	(cm)	=	0.01	m	=	10	mm	=	0.3937	pulg	
1	área	(a)	=	100	m2	
1	hectárea	(há)	=	10000	m2	=	100	a	
1	kilómetro	cuadrado	(km2)=	100	há	=	10000	a	
1	acre	(acr)	=	0.40	há	
	
Volumen	
1	milímetro	cúbico	(mm3)		
1	centímetro	cúbico	(cm3)=1000	mm3=0.0164	dm3	
1	decímetro	cúbico	(dm3)=1000	cm3=1000000	mm3	
1	metro	cúbico	(m3)=1000	dm3=1000000	cm3	
1	decilitro	(dl)	=	0.1	l	
1	litro	(l)	=	10	dl	=	0.26	gal.a.	
1	hectólitro	(hl)	=	100	l	=		1000	dl	
1	pulgada	cúbica	(p3)=16.39	cm3=0.0164	dm3	
1	pie	cúbico	(p3)=1728	pulg3=0.0369	yd3=28.32dm3	
1	yarda	cúbica	(yd3)=46656	pulg3=27	p3=764.6	dm3	
1	galón	americano	(gal.a.)	231	pulg3	=	0.1337	p3	
1	arroba	(arrob)	=	35.21	l.	
1	litro	(l)	=	0.26	gal.	a.	=	2.11	p.a.	
1	pinta	americana	(p.a.)	=	0.473	l.	
	
Unidades	de	Presion		
	
1	Bar	 1	kg/cm2	
1kg/cm2	 100	kPa	
1	psi	 1	libra/pulgada2		
1	atmósfera		 14.6	libra/pulg2			
1	psi	 0.145	kPa	
1	Bar	 	14.7	psi	
	
	
Miscelaneos	
Manual del estudiante 
28 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
	
oF	(grados	Fahrenheit)			 (	9/5	x	oC	)	+	32	
oC	(grados	Celsius)		 5/9	x	(	oF	–	32	)	
1	HP	(horse	power)		 746	w	(vatios)	(watts)	
	
Ejemplo	de	conversión	de	unidades	
	
1.	¿Cuántas	toneladas	cortas	es	2890	kg?		
1	tonelada	corta	=	907.18	kg	
X		t.c	=	2890	Kg	
	
Con	una	regla	de	tres	simple	convertimos	primero	gramos	a	kilogramos:		
	
Ejercicios		
1.	Si	cada	división	pequeña	 indica	una	pulgada	y	cada	división	mayor	un	pie.	¿Cuál	es	 la	 lectura	en	pies	y	
pulgadas?.	¿Cuál	sería	la	medida	en	centímetros?	¿y	en	metros?	¿y	en	milímetros?			
	
	
	
	
	
2.	¿Cuánto	es	16	onzas	troy	en	gramos?	¿Y	en	libras?		
	
3.	Convertir	500	m3	a	litros		
	
4.	Conversiones	
a) 10	pies	+	2	yardas	(convertirlos	en	metros)	=	
b) 8	pies	+	6	pulgadas	(convertirlo	en	decímetros)	=	
c) 	Convertir	en	libras	1.8	TC	=	
d) 7pies	con	3pulg.	–	1pies	con	5	pulg	=	
e) 15	mt.	¿cuántas	pulgadas	es?	=	
f) 7	pies	+	8	pulgadas)	–	(	3	pulgadas	+	11	pulgadas)=	
g) =
−
lg25
lg)25()7(
2
22
pu
pupíes
	
 
 
					 				1	 	 2	 							3	 	 			4	 										5	 				6	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 29 
	
	
 
	
 
UNIDADES	DE	MEDIDA	
	
1. Convertir		km/h	a	m/s	
	
2. Cuanto	es	60	mph	(millas	por	hora)	en	m/s.	
	
3. El	caudal	de	un	rio	esta	expresado	en	100	000	cm3/min	nos	piden	expresarlo	en	m3/h	
	
4. En	una	muestra	de	laboratorio	se	toma	5	g	/ml	de	una	muestra	para	su	posterior	análisis.	
Expresar	este	valor	en	ppm	(partes	por	millón).		ppm=mg/L	
	
5. Convertir	25◦C	a		K	(grados	kelvin)	y	F	(grados	Fahrenheit).	
	
6. Efectuar	la	siguiente	operación:		
	
	
	
7. Hallar	el	volumen	de	un	refrigerador	con	las	siguientes	dimensiones	60cm	de	largo	por	49	
cm	de	ancho	y	1.7	m	de	alto.	
	
8. Si	 los	 datos	 brindados	 por	 el	 equipo	 de	 estación	 meteorológica	 me	 indican	 655mmHg	
expresar	en	unidades	atm.	
	
9. Convertir	60	CFPM			a			m3/min.					CFPM	=	Pie3	/min	
	
10. Convertir			2000	L/h	a	m3/día			
 
 
 
 
 
Manual del estudiante 
30 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
5	
	
ÁREAS	Y	VOLUMENES	
 
Triángulo:			
El	triángulo	es	un	polígono	formado	por	tres	lados	y	tres	ángulos.		
La	suma	de	todos	sus	ángulos	siempre	es	180	grados.		
 
 
 
 
	
	
Cuadrado:	
El	cuadrado	es	un	polígono	de	cuatro	 lados,	con	 la	particularidad	de	que	todos	ellos	son	 iguales.	Además	
sus	cuatro	ángulos	son	de	90	grados	cada	uno.		
	
 
 
 
 
 
Rectángulo:	
El	rectángulo	es	un	polígono	de	cuatro	lados,	iguales	dos	a	dos.	Sus	cuatro	ángulos	son	de	90	grados	cada	
uno.		
El	área	de	esta	figura	se	calcula	mediante	la	fórmula:		
			
	
 
 
 
	
Área	del	triángulo	=	(base	.	altura)	/	2	
2
bxhA = 
	
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: 
 Área del cuadrado = lado al cuadrado 
A = l 2 
 
Área	del	rectángulo	=	base.altura	
 
 
A = b x h 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 31 
	
	
 
	
Círculo:	
El	círculo	es	la	región	delimitada	por	una	circunferencia,	siendo	ésta	el	lugar	geométrico	de	los	puntos	que	
equidistan	del	centro.		
 
 
 
 
 
	
Problemas	de	AREAS		
	
1. El	área	de	un	triangulo	es	de	580m2	y	su	base	(b)	mide	29m.	Hallar	la	longitud	de	la	altura		
	
2. El	área	de	un	rectángulo	mide	192	m2,	hallar	la	longitud	de	su	altura	(h)	si	su	base	(b)	mide	24m.	
	
3. El	triple	del	área		de	un	triangulo	es	72dm2	y	su	base	es	el	triple	de	su	altura	¿cuánto	mide	la	base		del	
triangulo?	
	
4. El	área		de	un	rectángulo	mide	147	cm2	y	su	base	es	el	triple	de	su	altura.	Halla	la	longitud	de	su	base		
	
5. Cuál	es	el	Porcentaje	del	AREA	sombreadaÁrea	del	círculo	=	3'14.radio	al	cuadrado		
A	=	3.14	(R	2)	
5	
5	
5	
5	
5	
Manual del estudiante 
32 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
HALLAR	LAS	AREAS	SOMBREADAS	
	
	
	
6)	ABCD	cuadrado,	M,	N,	P,	Q,	puntos	medios,	
BN	=	3	cm.		
	
	
	
	
7)	ABCD	cuadrado	de	lado	12	m.,	las	8	
semicircunferencias	iguales.		
	
	
	
8)	A,	B,	C	y	D	puntos	medios	de	los	lados	del	
cuadrado.		BC	=	 cm.	
	
	
	
	
9)	ABCD	cuadrado,		AB	=	6	cm.,	A	es	centro	de	
los	arcos	BD	y	EC.		
	
	
	
	
10)	ABCD	cuadrado	de	6	cm	de	lado,	ABE	
triángulo	equilátero.		
	
	
	
	
	
	
11)	Circunferencias	congruentes	de	radio	6	m.		
	
	
	
	
	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 33 
	
	
 
	
Volúmenes	
• Un	cubo	=	a3		
	 	
	
• Un	prisma	rectangular	=	a	b	c	
		 	
	
• una	esfera	=	(4/3)	pi	r3		
		
	
• Cilindro		
Volumen:		
 
 
EJERCICIOS	PRACTICOS	
	
1. Un	grupo	de	trabajadores	están	realizando	una	zanja		de	una	longitud	de	20	m,		0.5	m	de	ancho	y	1m	
de	profundidad.	¿Calcular	la	cantidad	de	tierra	a	remover		(volumen	m3)?	
	
Solución:	
La	cantidad	de	tierra	que	se	tendrá	que	remover	es	el	volumen	de	las	dimensiones	que	tiene	la	zanja.	
	
C	=	20	m	 	 A	=	0,	5	m	 	 B	=	1	m	
	
V=	axbxc	=	0,5m	x	1m	x	20m	=10	m3	
	
	
Volumen	=		a	3	
Volumen	=	a	x	b	x	c	
Manual del estudiante 
34 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
2. Un	pintor	va	a	pintar	un	lado	de	un	muro	de	3m	de	altura	x	una		longitud	de	12	m	¿cuántos	m2	ira	a	
pintar?	
	
Solución:	Va		a	pintar	un	área	de:	
Area	=	h	x	t	
	
Area	=	3m	x	12m	=36m2	
	
	
3. Un	pozo	de	8	m	de	diámetro	y	18	m	de	profundidad	fue	hecho	por	30	obreros	en	28	días	¿Cuál	es	el	
volumen	remueve	los	trabajadores?	
Solución:	La	cantidad	de	tierra	que	se	tendrá	que	Remover	es	el	volumen	de	las	dimensiones	que	tiene	
el	pozo.	
Diámetro	=	2	Radio		
Volumen:		
	
PI	=	3,	1416	
V	=	3,	1416	x	(4m)2	x	18	m	=	3,1416	x16	x18	m3	
	
Nota:	Usar	una	calculadora	para	resolver	el	problema.	
	
	
4. Un	 terreno	 en	 forma	de	 rectangular	 de	 480	m	de	 largo	 y	 220	m	de	 ancho,	 se	 requiere	 dividir	 en	 4	
partes		¿Cuál	es	el	área	de	cada	parcelas?	
	
Solución:	Área	total	del	terreno	=	480	m	x	220	m	=	
1	parcela	=	480mx220m/4	=	26400	m	
	
	
	
5.-	 Para	pintar	 solamente	 las	2	paredes	de	una	sala	 rectangular	de	15	m	de	 largo,	6	m	de	ancho	 	 se	
gasto	270	soles	¿Cuánto	se	gasto	por	metro	cuadrado?		
	
Solución:		
	
Área	de	cada	pared	=	15m	x	6m	=90m2	
Área	total	=		2	x	90m2	=	180m2	
Gasto	=270	soles		
Cuanto	gasto	por		1m2	=	270	soles	/	180		m2			
Por	un		1	m2		gasto		1.5	soles.	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 35 
	
	
 
	
6. 10	hombres	están	construyendo	un	muro	de	3	m	de	alto		por	50	m	de	largo		en	3	días	¿Calcular	el	área	
que	cada	trabajador	avanza	por	día		en	promedio	cada	hombre?	
	
Solución:		 	
Datos:	10	hombres		
Área	de	construida	=	3m	x	50m	=	150		m2	
Tiempo	=	3	días		
Calcular	el	área	que	avanzan	los	30	hombres	en	promedio	por	día.	
Es:	150	m2	/	3		=50	m2	por	día		
Cada	trabajador	construye	en	promedio	por	día:	
	50	m2	por	día/10	hombres		=		5	m2	por	día	/	hombres.	
	
7. 2	personas		están	realizando	una	zanja	de	1m	de	alto	x	10	m	de	largo	x	un	ancho	de	0.5	m		en	5	días	
¿Cuál	es	la	cantidad	de	volumen	de	tierra		removida		diaria	en	promedio	por	cada	persona?	
	
Solución:	Datos:		
2	personas		
Las	dimensiones	de	la	zanja:	1m	x	10m	x	0,5m	
El	volumen	de	la	zanja	es	la	cantidad	de	tierra	removida	
Volumen	de	la	zanja	=	1m	x	10m	x	0,5m	=5	m3		
Cual	es	el	volumen	de	tierra	removida	por	día	de	las	2	personas:	
5	m3	/	5	días		=	1	m3		
	
¿Cuál	es	el	volumen	en	promedio	de	tierra	removida	x	persona?	
1	m3	/	2	personas		=	0,5		m3	/	personas						
	
8. Un	pequeño	vagón	de	mina	contiene	mineral	en	promedio	2m3	si	se	quiere	almacenar	en	un	lugar	que	
tiene	 las	 siguientes	 dimensiones	 	 Altura	 =3m;	Ancho	 =	 4m;	 Largo	 =	 6	m	 ¿cuantos	 viajes	 tendrá	 que	
realizar	el	vagón	para	tener	el	almacén	lleno?	
	
Solución:		
Primero	hay	que	saber	el	volumen	del	lugar	donde	se	almacenara		
V	=3m	x	4m	x	6m	=	72	m3		
Cuantos	viajes	realizara:	72	m3	/	2	m3		=		36	viajes		
	
9. Un	ingeniero	minero	realiza	un	túnel	de	la	forma	de	un	prisma	rectangular	cuyas	dimensiones	son	8m	
x	10m	x	50m.	Cada	día	 se	 	 remueven	en	promedio	32	m3	 	¿Cuántos	días	demorará	 remover	 toda	 la	
tierra?	Resolver:	
	
10. Si	el	volumen	de	un	cubo	es	512	cm3,	encuentra	su	área	total	y	la	dimensión	de	su	arista.		
	
11. Calcula	el	área	total	y	el	volumen	de	un	paralelepípedo	de	aristas	2	cm.,	5	cm.	y	8	cm.		
	
12. Determina	el	área	total	y	el	volumen	de	un	cubo:		
a)						de	arista	2	cm.		
b)						en	que	el	área	de	una	de	sus	caras	es	36	cm.		
c)						en	que	el	perímetro	de	una	cara	es	36	cm.		
	
Manual del estudiante 
36 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Áreas	y	volúmenes	
1. Hallar	el	área	de	un	triángulo	equilátero,	si	el	valor	de	un	lado	es	60	cm.	
	
	
	
	
	
2. Calcular	el	área	de	la	parte	sombreada	del	rectángulo.	Lados	del	rectángulo	30	cm	y	50	cm	
	
	
	
	
	
	
	
3. Calcular	el	volumen	del	recipiente	de	30	cm	de	alto	20	cm	de	ancho	y	15	cm	de	largo.	
	
4. 5	personas		están	realizando	una	zanja	de	1.5	de	alto	x	15	m	de	largo	x	un	ancho	de	0.4m	en	8	días.	
¿Cuál	es	la	cantidad	de	volumen	de	tierra	removida	diaria	en	promedio	por	cada	persona?	
	
5. Un	mineral	que	tiene	forma	esférica	presenta	el	mismo	volumen	que	un	recipiente	que	tiene	forma	
rectangular	con	las	siguientes	dimensiones	2cm	,3cm	y	4cm	.¿Calcule	el	radio	de	la	esfera?	
	
6. Hallar	el	área	de	la	región	sombreada	si	el	lado	del	cuadrado	vale	4	cm.	
	
	
	
	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 37 
	
	
 
	
			
7. Hallar	el	área	de	la	región	sombreada		
	
	
	
	
	
	
	
8. Hallar	el	área	de	la	región	sombreada	si	ABCD		es	un	cuadrado.	
	
	
	
	
	
9. Calcular	el	área	de	la	parte	sombreada:	
	
	
	
	
	
	
10. Hallar	el	área	de	la	región	sombreada	si	ABCD	es	un	rectángulo.		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Manual del estudiante 
38 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
	
6	
	
ECUACIONES	DE	1er	GRADO	
 
Denominada	también	ecuación	lineal,	es	aquella	ecuación	de	la	forma:		
	
AX+B	=0					;				A≠	0	
	
PASOS	PARA	RESOLVER	LA	ECUACIÓN:		
1er	 paso	 se	 coloca	 la	 variable	 al	 extremo	 izquierdo	 de	 la	 ecuación	 y	 la	 constante	 B	 se	 traslada	 al	 lado	
derecho	de	la	ecuación,	pero	con	signo	cambiado	y	luego	dividiéndole	entre	A,	logrando	así	obtener	el	valor	
de	la	incógnita	.	
	
Cuya	solución	o	raíz		es:		
ABX /−= 	
	
EJEMPLOS:		
	
1.-	 5X	+	12		=	0								→ 		 	5X	=	-12						 	→ 							X=		[ ]5 / 12- 	
	
Explicación:	Como	se	puede	observar	la	incógnita	lo	hemos	dejado	en	el	mismo	lugar	y	la	constante	12,	lo	
hemos	trasladado	al	extremo	derecho	pero	cambiándola	de	signo		y	luego	lo	hemos	dividido	entre	5.	
	
	
2.-	 2X		+		3		=	0	 					→ 	 	2X	=	-3		→ 							X=		[ ]2/3− 		
				
	
Explicación:	Como	se	puede	observar	 la	 incógnita	 lo	hemos	dejado	en	el	mismo	lugar	y	 la	constante	3,	 lo	
hemos	trasladado	al	extremo	derecho	pero	cambiándola	de	signo		y	luego	lo	hemos	dividido	entre	2.	
	
	
EJERCICIOS	PROPUESTOS:		
	
1.-	 2X+13	=		X	+3	 	 	 Rta:	X	=	10	
2.-	 5X+25	=		X	+30	 	 	 Rta:	X	=	5/4	
3.-	 7X	-	(2+	X)	=	18	 	 	 Rta:	X	=	20/6	=	 10/3	
	
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 39 
	
	
 
	
4. Ecuaciones	de	1er	grado.	
	
a. 
			
7
1
22
1
2
+
−
−
=+
− X
X
X
X
	
	
	
b)				 54
)21(
2
53
5
4
=
−
−
−
+
XXX
	
	
c)					 XXX
X
−+
−
−
=+
−
7
1
22
1
2
	
	
	
d)				 54
)21(
2
53
5
4
=
−
−
−
+
XXX
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hay	equilibrio		
 
 
Manual del estudiante 
40 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
Ecuaciones	de	1er.	Grado	
	
1. Resolver	la	siguiente	ecuación	lineal.	
	
	
									
2. Si		-2	es	solución	de	la	ecuación	lineal	de	variable	¨x¨	calcule	el	valor	de	m.	
	
	
	
3. Resuelva	la	ecuación	
														 =4		
4. 	En	 una	 tienda,	 de	 un	 producto	 me	 rebajaron	 el	 15%	 y	 pagué	 51	 soles.	 ¿Cuánto	 costaba	 el	
producto?	X	precioen	soles	del	producto.	
	
5. José	tiene	5	años	más	que	Amparo.	Si	entre	los	dos	suman	73	años,	¿qué	edad	tiene	cada	una?	
	
6. Después	de	caminar	1500	m	me	queda	para	llegar	al	colegio	5	3	del	camino.	¿Cuántos	metros	tiene	
el	trayecto?	
	
7. Un	pastor	vende	7/5	de	las	ovejas	que	tiene.	Después	compra	60	y	así	tendrá	el	doble	de	las	que	
tenía	antes	de	la	venta.	¿Cuántas	ovejas	tenía	en	un	principio?	
	
8. Determinar	un	número	que	sumado	con	su	mitad	y	su	tercera	parte	de	55.	
	
9. Mi	padre	tiene	6	años	más	que	mi	madre.	¿Qué	edad	tiene	cada	uno,	si	dentro	de	9	años	la	suma	
de	sus	edades	será	84	años?	
	
10. Un	padre	 tiene	3	veces	 la	edad	de	 la	hija.	Si	entre	 los	dos	suman	48	años,	¿qué	edad	 tiene	cada	
uno?	
 
 
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 41 
	
	
 
	
7	
	
ÁNGULOS	
 
Concepto:	 Se	 llama	 ángulo	 a	 la	 abertura	 formada	 por	 dos	 semirrectas	 con	 un	 mismo	 origen	 llamado		
“vértice”.	Las	semirrectas	se	llaman			“lados”.			
 
 
 
 
Formas	de	designar	un	ángulo:	
	
	
	
	
	
	
Medida	de	ángulos	
	La	medición	de	un	ángulo	consiste	en	comparar	dicho	ángulo	con	otro	ángulo	que	se	toma	como	unidad.		
La	unidad	de	medida	de	un	ángulo	es	el	grado		“sexagesimal”.		
	
Sistemas	de	medidas	
a.-	Sistema	Sexagesimal:	La	unidad	es	el	grado	(grado	sexagesimal)	
	
						1	grado	(	o		)		:			60	minutos		(	‘	)		
						1	minuto								:		60	segundos	(	‘’	)	
	
b.-	Sistema	Centesimal:	La	unidad	es	el		“grado		centesimal	“	
	
							1	grado	centesimal	(	g	)	:				100	minutos	centesimales	(	m	)	
							1	minuto		centesimal			:					100	segundos	centesimales		(	s	)	
	
	
	
	
	
	
a) A 
	
	
	
	
	
b) 
	
	
	
	
	
c)										A O B	
	
A O 
A 
B 
Lados 
Vértice 
Manual del estudiante 
42 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
c.-	Sistema	circular:	La	unidad	de	medida	es	el		“radián”	
 
 
 
 
L	C		=		2	(pi)	(radio)			=		2	(pi)	(radián)		=		360	o	
 
 
 
Notación	de	ángulos	
Ejemplos:	
a.-	Si	un	ángulo	AOB	mide	38	grados	15	minutos	12	segundos,	se		escribe:	38o	15’	12’’	
	
b.-	Si	un	ángulo	mide	72	grados	50	minutos	18	segundos	centesimales,	se	escribe:		
	
					72	g		50	m	18	s			
	
Conversión	de		unidades	en	la	medición	de	ángulos		
	
Haciendo	la	siguiente	notación:	
	
	S		=		grado	sexagesimal	
	C		=			grado	centesimal	
	R		=			radianes	
	
Entonces,	tenemos	la	siguiente	relación:	
	
 
 
 
 
O	
	r	
r	
r	
A	
B 
1	radián		=	ángulo	AOB	=	longitud	arco	AB	
 
1	radián	=	360			2	(pi)	
	
1	radián		=		57o	18’	
S C R
= =
180 200 pi
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 43 
	
	
 
	
Ejercicios. 
a.- Convertir a radianes 90 o 
 
 
 
 
 
b.- Expresar en grados sexagesimales un ángulo de 6.28 radianes. 
 
 
 
 
 
1. Operar:	
a) 38º	15’	19”	–	21º	50’	39”	=	
b) 9º	30’		-	2º	58’		=	
c) 	5º	40’		-	1º	53’	=	
 
 
 
 
 
 
Reemplazando	datos:	
	
90	/	180		=		R	/	pi	
	
R	=	90	x	3.1416	/		180	
 
R = 1.57 radianes 
S R
=
180 pi 	
Aplicando la fórmula: 
 
S = 180x R pi 
 
S = 180 x 6.28 3.1416 
 
S = 359 o 48 ‘ 60 “ 
Manual del estudiante 
44 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
ANGULOS	
1. Resolver		10◦	25´	4´´	-	2◦	31´	11¨	
	
	
2. En	un	triángulo	sus	ángulos	miden:		
	
14x°;	 				y						 				¿Cuál	es	el	valor	de	"x"?	
	
3. Si		 a
◦
		bc´	
	
Entonces	calcule		(b+c)/a	
	
	
4. Convierta	al	sistema	centesimal.	
	
	
	
5. La	suma	de	dos	ángulos	es	40
◦	y	su	diferencia	es	30	g.	¿Cuánto		mide	el	mayor?	
	
6. Siendo	¨S¨	y	¨C¨		lo	conocido	para	un	mismo	ángulo,	tales	que:	
	
														 										Calcule	la	medida	radial	del	ángulo.	
	
7. Convierta	al	sistema	sexagesimal			 	
	
8. Calcule	la	medida	de	un	ángulo	en	radianes	sabiendo	que	la	diferencia	de	sus	números	
	
De	grados	centesimales	y	sexagesimales	es	5.	
	
9. A	que	es	igual		
	
	
10. Convierta	a	radianes	60	g	
 
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 45 
	
	
 
	
8	
	
FUNCIONES	TRIGONOMETRICAS	DE	
UN	ANGULO	AGUDO	EN	UN	
TRIANGULO	RECTÁNGULO	
 
Las	F.T.	son	seis	y	se	denominan:	Seno,	Coseno,	Tangente,	Cotangente,	Secante	Cosecante.	
	
Su	notación	es	la	siguiente:	
	
	 *	Sen	α	.............	Léase:	Seno	del	ángulo	α	ó	Seno	de	α	
	
	 *	Cos	α	..............	Léase:	Coseno	del	ángulo	α	ó	Coseno	de	α	
	
	 *	Tg	 α	..............	Lease:	Tangente	del	ángulo	α	ó	Tangente	de	α	
	
	 *	Ctg	α	..............	Lease:	Cotangente	del	ángulo	α	ó	Cotangente	de	α	
	
	 *	Sec	α	..............	Lease:	Secante	del	ángulo α	ó	Secante	de	α	
	
	 *	Csc	α	..............	Lease:	Cosecante	del	ángulo	α	ó	Cosecante	de	α	
	
Sea	ABC	un	Triángulo	Rectángulo	(B	=	90º).	Las	F.T.	de	a	se	definen:	
	
 
 
Sen	α 	=	Cateto	opuesto			=		a/c	
Hipotenusa		c	
Csc	α :	=	 Hipotenusa					=		c/a	
Cateto	opuesto	
	
Cos	α 	=	Cateto	adyacente		=	b/c	
Hipotenusa		c	
	
Sec	α 		=	 				Hipotenusa	 =		c/	b	
Cateto	adyacente	
	
Tg	α 	=			Cateto	opuesto				=	a/b	
Cateto	adyacente	
Ctg	α 	=		Cateto	adyacente	=b/a	
Cateto	opuesto	
	
	
Manual del estudiante 
46 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
PROBLEMAS	PROPUESTOS	
(USAR	CALCULADORA)	
																																																																																										
1. Resolver	:	
	
a. 
( ) 3/2107020cos
13
50cos40
=°+°+
−
°−° XsenX
x
XXsen
	
	
b. X3cos50°-1	=	sen70°+cos30°.sen30°	
	
																																																																																																									
2. α=53º	
a) Sen	α	.	cos	α	+	Tg	α	.	sen	α	=	
	
b) 
α
α
α
α
22 1
cos
cos1 sen
sen
−
+
−
		=	
	
	
3. Operar:	Hallar	“x”	
	
2
º5321
10
º5321
º53
1º532
1º53
=
−
+
−
−
−
−
XCOSXCOS
XCOS
XCOS
XCOS 	
	
	
4. Operar:		
a) 12
º53º53
º53º535 22
−=
+
+ X
TgCot
CotTg 	
	
b) 
4
º45º53
5
ππ
=−XSenCos 	
	
(Hallar	X	en	función	de	grados	sexagesimales:	minutos	y	segundos)	
Ángulos		de	Elevación	y	Depresión	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 47 
	
	
 
	
 
EJERCICIOS:		
	
Para	calcular	lo	que	se	te	pide	en	cada	situación	siguiente,	grafica	el	triángulo	rectángulo	correspondiente,	
escribe	sus	datos	e	incógnitas	y	luego	resuélvelo	como	en	los	triángulos	de	arriba.	
	
1.-	 	A	240	m	de	la	base	de	un	edificio	se	observa	la	parte	más	alta	de	éste	con	un	ángulo	de	elevación	
de	37°.	Calcular	la	altura	del	edificio.	
	
2.-	 Un	observador	se	encuentra	24	m	de	la	base	de	un	poste	de	7	m	de	altura.	¿Cuál	es	el	ángulo	de	
elevación	respectivo?	
	
3.-	 	Una	escalera	de	6m	de	 longitud	está	apoyada	sobre	una	pared	 formando	con	ésta	un	ángulo	de	
30°.	Calcular	la	distancia	entre	los	pies	de	la	escalera	y	la	pared.	
	
4.-	 	Desde	lo	alto	de	un	edificio	de	100	m	de	altura	se	observa	un	auto	estacionado	bajo	un	ángulo	de	
depresión	de	60°.	Calcular	 la	distancia	desde	el	auto	hasta	el	pie	del	edificio	en	el	punto	que	está	
bajo	el.	
	
5)	 α : β : γ	=	5:	3	:	1;		α =	?		
	
 
6) x = ?		
 
FUNCIONES	TRIGONOMETRICAS	DE	UN	ANGULO	AGUDO	EN	UN	TRIANGULO	RECTANGULO	
Manual del estudiante 
48 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
	
1. Resolver:	Calcule	sen	X	.		El	lado	del	cuadrado	es	20	cm.	
	
	
	
2. Calcule	la	altura	del	faro	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3. Calcule	el	largo	aproximado	de	la	base	del	barco	
	
	
	
			
	
	
4. En	un	triángulo	rectángulo	ABC;	recto	en	C;	se	cumple	que	BC=n	;	AC=	2n+2	y	AB=	3n-2.	Calcule	sec	A	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 49 
	
	
 
	
5. Si	la	diagonal	de	un	rectángulo	forma	con	la	base	de	un	ángulo	cuya	cotangente	es	7/24,	calcule	dicha	
diagonal,	si	el	perímetro	del	rectángulo	en	mención	es	de	310.	
	
6. Desde	un	punto	se	observa	la	parte	alta		de	un	árbol	con	un	ángulo	de	elevación	37˚	luego	5.75m	más	
adelante,	se	observa	el	punto	medio	del	árbol	con	ángulo	de	elevación	53˚.	Calcule	la	altura	del	árbol.	
	
7. Un	 helicóptero	 viaja	 en	 línea	 recta	 y	 horizontalmente	 divisa	 en	 tierra	 un	 punto	 A	 con	 un	 ángulo	 de	
depresión	53˚	si	luego	de	recorrer		900	m	se	encuentra	exactamente	por	encima	delpunto	A.	Calcule	la	
longitud	de	la	primera	línea	visual.	
	
	
8. Si	α	y	β	son	ángulos	complementarios	tales	que	se	verifica.	
	
			y			 	
															Calcule	sec	β	
	
9. Para	el	grafico	se	verifica	que	BC=3	BM.	Calcule		sen	Y	.		cosX	
	
	
					
10. Si	sec	α	=	 	
	
	
Calcule	M	=	 	
 
 
 
 
 
 
 
Manual del estudiante 
50 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
9	
	
LOGARITMO	
	
Aplicaciones	Generales:		
Los	logaritmos	son	números,	que	se	descubrieron	para	facilitar	 la	solución	de	los	problemas	aritméticos	y	
geométricos,	a	través	de	esto	se	evitan	todas	las	complejas	multiplicaciones	y	divisiones	transformándolo	a	
algo	completamente	simple	a	través	de	la	substitución	de	la	multiplicación	por	la	adición	y	la	división	por	la	
substracción.	Además	el	cálculo	de	las	raíces	se	realiza	también	con	gran	facilidad”.		
	
Las	 funciones	 exponenciales	 y	 logarítmicas	 pueden	 ser	 utilizadas	 para	 resolver	 y	 modelar	 algunas	
situaciones	de	 la	vida	real.	Algunas	de	estas	situaciones	son:	el	crecimiento	de	bacterias	en	un	cultivo,	el	
crecimiento	de	la	población	de	una	ciudad,	el	tiempo	que	toma	un	objeto	para	llegar	a	cierta	temperatura,	
etc.	Algunos	de	los	modelos	utilizados	en	estos	problemas	son:	
	
LOGARITMO	de	un	número	es	el	exponente	a	que	hay	que	elevar	otro	número	llamado	base	para	obtener	
el	número	dado.	Así,		
	
5°		=	1	
51		=	5	
52		=	25	
53		=	125	etc.	
	
Luego,	siendo	la	base	5	el	logaritmo	de	1	(que	se	escribe	Log	51)	es	0,	por	que	0	es	el	exponente	a	que	hay	
que	elevar	la	base	5	para	que	dé	1:	
	
El	log5	5	es	1,	
El	log5	25	es	2,	
El	Log	5125	es	3,	etc.	
	
BASE	
Cualquier	número	positivo	se	puede	tomar	como	base	de	un	sistema	de	logaritmos.	
	
1. En	todo	sistema	de	logaritmos,	el	logaritmo	de	la	base	es	1,	porque	siendo	b	la	base,	tendremos:		b1	
=	b	∴	Log	b	=	1		
	
2. En	todo	sistema	el	logaritmo	de	2	es	cero,	porque	siendo	b	la	base,	tendremos:	
b	0	=	1						;				Log	b	1	=	0	
	
Log	N		=	x					←→ 	b	x			=	N	
	
	
	
Ciencias Básicas 
Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	 51 
	
	
 
	
Otra	definición	de	logaritmo:	
Se	llama	logaritmo	de	un	numero	“N”		en	la	base		“b”,	positiva	distinta	de	la	unidad,	la	base	debe	elevarse	
al	exponente	“x”	para	obtener	el	numero	“N”.	
	
1.-	 Log5	125		=		x					←→ 	5x			=	125		→ 		x	=	3	
	
Explicación:	Se	llama	logaritmo	de	125		en	la	base		5		
	
Para	hallar	el	logaritmo			
La	base		“5”	debe	elevarse	al	exponente	“x”	para	obtener	el	numero	“125”.	
1.-	 Log2	64		=	x					←→ 	2x					=	64				 	→ 		x	=	6	por	que			26	=	64	
	
2.-	 Log3	81		=		x					←→ 	3x					=	81				→ 		x	=	4	
	
3.-	 Log2	256		=	x					←→ 	2x					=	256				→ 		x	=	8	
	
4.-	 Log2	4		=		x							←→ 	2x					=	4				→ 		x	=	2	
	
Para	poder		desarrollar	con	facilidad	los	Logaritmos	es	necesario	repasar	Potenciación.	
	
PROPIEDADES:		
	
Log	b	b		=	1					;	El	logaritmo	de	la	base	es	igual	a	la	unidad.	
	 		
	b1	=b					;		b≠ 1		,	b>0	
	
Log	b	1		=	0		 				;	El	logaritmo	de	la	unidad	es	cero.	
	
bº	=1	
	
PROBLEMAS		PROPUESTOS:		
1.-	 Log	128	 =				x						 	 	 2.-				Log	5		5		 =				x				
3.-	 Log2	1024	 =				x								 	 4.-				Log	5		3125	=				x				
5.-	 Log	2		1	 =				x					
			
5. Resolver:	
	
a)			1	–	X	log	130					=				5	
						X	log	225		+		1	
	 	 	
b. log	X	=	4	log	12	–	3	log	18	
	
c)		Xlog	128		+	log	625		=		X	log	10	–	5	
LOGARITMO	
1. Calcule	el	logaritmo	de	103	en	base	10.	
	
2. Si	la	concentración	de	iones	H	es	10	-7	calcule	el	PH	si	se	conoce	la	siguiente	formula	
PH	=	-Log		[H+]	
	
Manual del estudiante 
52 Saber,	Saber	hacer,	Saber	ser	
	
	
 
	
3. Calcule		
log2	+	log5=	
log4+log25=	
	
4. Calcule	
Log	60-log6=	
Log28-	Log24=	
	
5. Calcule	log	335	
	
6. Calcule	log	443	
	
7. El	POH	de	una	disolución	es	de	9.4.	Calcule	la	concentración	de	iones	hidrogeno	
	
8. Resolver	
	
	
	
9. Resolver		
Log	(4- )-log	(4+ )	
	
10. Resolver	
	
	
	
	
	1
	CIENCIAS BASICAS - (EM)