Cuadriláteros - Romi Scuderi

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CUADRILÁTEROS
Definición:
Se llama cuadrilátero convexo o simplemente cuadrilátero a la poligonal cerrada que determinan
cuatro puntos de un plano dado en un cierto orden, de tal modo que el ángulo convexo formado por
cada tres puntos consecutivos contenga al cuarto punto.
Son los polígonos de cuatro lados; por lo tanto, cumple con todas las propiedades de los
polígonos. Clasificación:
A partir de un cuadrilátero general al que sólo le imponemos la condición “tener cuatro lados”
se generan cuadriláteros especiales aplicando sucesivas transformaciones.
CUADRILÁTEROS
TRAPECIOS TRAPEZOIDES
Por lo menos un par de lados
paralelos
Ningún par de lados paralelos
Dos pares de
lados paralelos
Paralelogramos
Rectángulos Rombos cuatro
ángulos lados
congruentes
Sólo un par de
lados paralelos
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos
Trapecio isósceles
Tiene los lados no
paralelos
congruentes Trapecio
escaleno
Romboide
Tiene dos pares de lados
consecutivos congruentes
Cuadrados
Propiedades
Lados no congruentes Tener en cuenta:
✓ Todos los paralelogramos son
trapecios, pero no todos los tra
pecios son paralelogramos.
✓ Los cuadrados son rombos
rectángulos o rectángulos
rombos.
❖ En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual a 3600.
❖ En todo cuadrilátero la suma de los ángulos exteriores es igual a 3600.
Alturas y diagonales de un cuadrilátero
En los trapecios la altura es la distancia comprendida entre los lados paralelos.
h
h
h
Escaleno Isósceles
Rectángulo
En los paralelogramos
h
h
h
h
h
Las diagonales de un cuadrilátero dependen de la configuración del polígono al cual pertenecen.
Siempre son dos y en los rectángulos son congruentes.
Propiedades de la base media del trapecio
Se llama base media del trapecio al segmento paralelo a las bases, que unen los puntos medios de
los lados no paralelos.
En todo trapecio se verifica que la base media es igual al promedio de la suma de sus bases.
b
Base media mp=
B+b
2
Propiedades de los
paralelogramos:
m p B
• Los lados opuestos son congruentes.
• Los ángulos opuestos son congruentes.
• Las diagonales se cortan en partes congruentes.
• Tiene un centro de simetría.
• Las bases medias son paralelas y congruentes con sus lados opuestos correspondientes.
a
b o
d
c
ab = cd
ad = bc
a y c son opuestos a = c d y b son
opuestos d = b ao = oc y do = ob
Propiedades de los rectángulos: •
Tiene todos sus ángulos rectos. •
Las diagonales son congruentes.
e
f
e = f = g = h
h g Propiedades de
los rombos:
eg = hf
• Tiene todos sus lados congruentes.
• Los ángulos opuestos son congruentes.
• Las diagonales no son congruentes y se cortan perpendicularmente.
i
o
l
m
k
li = im = mk = kl l = m
i = k
ik lm
Propiedades de los cuadrados:
• Son paralelogramos que son rectángulos (tienen sus cuatro ángulos rectos) y rombos (tienen
cuatro lados congruentes).
• Sus diagonales son congruentes y se cortan perpendicularmente.
• Sus bases medias son perpendiculares y congruentes.
• Las diagonales no son congruentes y se cortan perpendicularmente.
m
o
o
n
mn = ns = sp = pm
m = n = s = p
ms = np
p s
Propiedades de los
romboides:
ms pn
• Las diagonales se cortan perpendicularmente. •
La diagonal menor se corta en su punto medio. •
La diagonal mayor es bisectriz de los ángulos. s
rt su
o
r
23
1
t
4
u
so = ou 1 = 2
3 = 4
Construcción de cuadriláteros
a) Dados dos lados y el ángulo comprendido: 7 cm; 4 cm y β = 85° b) Dados dos lados
consecutivos y una diagonal: lados 6 cm y 3 cm; diagonal 7 cm. c) Dados dos
diagonales y ángulo comprendido por ellas: d1= 6 cm, d2= 4 cm; λ = 45°
PERÍMETRO
Del cuadrado y del rombo: L x 4
Del rectángulo y del romboide: L1 x 2 + L2 x 2 ó 2.(L1 + L2)
Del trapecio y del trapezoide: L1 + L2 + L3 + L4
ÁREA O SUPERFICIE:
Cuadrado: L2
Rectángulo, paralelogramo: b x h
Trapecio:
(��+
��)��
����
Rombo,
romboide:
����
����
Práctica
1) Cada uno de los lados congruentes de un trapecio isósceles mide 23 cm. La base mayor supera en
8 cm a la base menor. El perímetro de 108 cm. Calcula la medida de las bases. 2) De acuerdo con los
datos calcula el valor de los ángulos
b) nmpo paralelogramo a) abcd paralelogramo
a
n
2x + 6°
d
3x - 14° c
b
b
m
o
3x + 50° 2x - 25° p
c) rstu trapecio isósceles
r
u
d) pqrs trapecio isósceles s
r
s
t
r = x + 12°
s = x + 28°
p q
p = 2x + 5°
q = 3x - 30°
3) Calcula el valor de
los lados b
a) Datos
abcd romboide
b) Datos
abcd paralelogramo
b
c
Perímetro abcd =
30 cm ab = x
ad = 2x – 3 cm
a c d ab = x + 2 cm bc =
2x + 4 cm cd = 2x –
3 cm a d
4) a; b; c; d son ángulos interiores de un cuadrilátero. Calcula en cada caso el ángulo que falta
Polígono a b c d
1 89° 132° 49°
2 27° 15’ 100° 30’ 85° 20’
3 145° 20’ 58° 24’ 107°
5) El perímetro de un romboide abcd es de 86 cm. El lado bc supera en 7 cm al lado ab. Calcula el
valor de cada lado.
6) El perímetro de un trapecio isósceles es de 51 cm. La diferencia entre las bases es de 5 cm y el
valor de cada uno de los lados congruentes es igual al duplo de esa diferencia. Calcula el valor de
cada lado.
7) ¿Cuál es la amplitud de cada ángulo interior de un cuadrilátero pqrt, sabiendo que p es la mitad
de q; q es el doble de r y t es la suma de p y r?
8) Calcula la longitud de las diagonales de un rectángulo de 12 cm de base y 5 cm de altura. 9) Pablo
está haciendo un barrilete con forma de romboide. Usó como diagonales dos varillas de 40 cm y 75
cm respectivamente. Si quiere pegar una cinta con flecos en todo el contorno, ¿cuántos metros de
cinta necesita?