examen maquinas 2

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1) Dado que conocemos la amplitud del campo eléctrico (E0 = 120 V/m) y la frecuencia de la onda electromagnética (f = 50 MHz = 50 × 10^6 Hz), podemos determinar la amplitud del campo magnético (H0) utilizando la relación H = E / c, donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
H0 = E0 / c H0 = 120 V/m / (3 × 10^8 m/s) H0 = 4 × 10^-7 A/m
La frecuencia angular (ω) se calcula mediante la fórmula ω = 2πf:
ω = 2π × 50 × 10^6 Hz ω = 100π × 10^6 rad/s
El número de onda (k) se calcula utilizando la relación k = ω / c:
k = (100π × 10^6 rad/s) / (3 × 10^8 m/s) k = (100/3)π × 10^-2 rad/m
Ahora, podemos reemplazar los valores en la expresión general para el campo magnético:
H(t) = H0 * cos(ωt - kz) * a_y H(t) = (4 × 10^-7 A/m) * cos((100π × 10^6 rad/s)t - (100/3)π × 10^-2 rad/m * z) * a_y
Simplificando la expresión, tenemos:
H(t) = 4 × 10^-7 cos(3.14 × 10^8 t - 1.05z) a_y A/m
La respuesta correcta es la opción c) H(t) = 4 × 10^-7 cos(3.14 × 10^8 t - 1.05z) a_y A/m. 
2) La densidad de carga volumétrica se obtiene a partir de la divergencia de D, que se calcula como:
∇ · D = (∂Dx/∂x) + (∂Dy/∂y) + (∂Dz/∂z)
Para calcular cada una de las derivadas parciales, descomponemos el vector D en sus componentes cartesianas:
Dx = xy Dy = 1 + 0.5x^2 Dz = 0
Calculamos las derivadas parciales de cada componente:
∂Dx/∂x = ∂/∂x (xy) = y ∂Dy/∂y = ∂/∂y (1 + 0.5x^2) = 0 ∂Dz/∂z = ∂/∂z (0) = 0
Sustituyendo estas derivadas parciales en la expresión de la divergencia, obtenemos:
∇ · D = y + 0 + 0 = y
Ahora evaluamos la divergencia en el punto P(1, -2, -3) m:
∇ · D = y = -2
La divergencia nos proporciona la densidad de carga volumétrica (ρ) en el punto P:
ρ = ∇ · D = -2 C/m³
Por lo tanto, la densidad de carga volumétrica en el punto P(1, -2, -3) m es: -2 C/m³.
3) Dado que B = 5cos(10^6t)sin(10^-3x)a_y mT y la ecuación ∇×H = ε(∂E/∂t), podemos calcular el rotacional de H y compararlo con el lado derecho de la ecuación para encontrar E.
El rotacional de H se calcula de la siguiente manera:
∇×H = (1/μ)∂H/∂t
∂H/∂t = -5(10^6)sin(10^6t)cos(10^-3x)a_y
∇×H = (1/μ)(-5(10^6)sin(10^6t)cos(10^-3x)a_y)
Igualando esto a ε(∂E/∂t):
(1/μ)(-5(10^6)sin(10^6t)cos(10^-3x)a_y) = ε(∂E/∂t)
Sustituyendo los valores de ε y μ:
(1/(10^-6))(-5(10^6)sin(10^6t)cos(10^-3x)a_y) = (10^-11)(∂E/∂t)
Simplificando, tenemos:
-5sin(10^6t)cos(10^-3x)a_y = 10^5(∂E/∂t)
Ahora, comparamos los términos de ambas ecuaciones. Vemos que ∂E/∂t = -5sin(10^6t)cos(10^-3x), lo cual es consistente con la respuesta anterior.
Además, en la ecuación original dada para B, se muestra que la componente y (a_y) está asociada con E. Por lo tanto, la dirección de E debe ser en la misma dirección que la componente y (a_y).
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
E = -5×10^5sin(10^6t)cos(10^-3x) a_y V/m
4) Primero, convirtamos el radio y la longitud a metros:
Radio (r) = 2 cm = 0.02 m
Longitud (l) = 40 cm = 0.5 m
A continuación, necesitamos calcular el volumen del cilindro:
Volumen (V) = π × r^2 × l V = π × (0.02)^2 × (0.5) V ≈ 0.000628 m^3
La magnitud del campo eléctrico se da como E = 50 V/m. Entonces, podemos usar la fórmula para la energía contenida en un cilindro:
Energía contenida en un cilindro (U) = (1/2) × ε₀ × E^2 × V
= (1/2) × (8,85 × 10^(-12)) × (50^2) × (0.000628)
Redondeo a dos decimales:
U (en pJ) ≈ 5,56 pJ
Por tanto, la energía contenida en el espacio cilíndrico es de aproximadamente
= 5,56 pJ. 
5) Ampere-Maxwell's law and Faraday's law.
6) Γ = (ZL - Z0) / (ZL + Z0)
Γ = (25 - j50 - 75) / (25 - j50 + 75)
Γ = (-50 - j50) / (100 - j50 ) =-0.2-0.6j
|Γ| = sqrt(Re(Γ)^2 + Im(Γ)^2)
= sqrt((-1/5)^2 + (-3/5)^2)
= sqrt(1/25 + 9/25)
= sqrt(10/25)
= sqrt(2/5)
≈ 0.632
Now, we can calculate the VSWR:
VSWR = (1 + |Γ|) / (1 - |Γ|)
= (1 + 0.632) / (1 - 0.632)
= 1.632 / 0.368 ≈ 4.446
7) dv/dt=id/c =0.75/2.5x10^-6=300000= 3x10^5 v/s
8) y a esta
9) 0.217 dB.
10) Para encontrar la dimensión de la pared ancha interior de la guía de ondas rectangular, podemos utilizar la siguiente fórmula:
Donde:
· a: dimensión de la pared ancha interior de la guía de ondas rectangular.
· c: velocidad de la luz en el vacío, $c \approx 3\times 10^8$ m/s.
· f_c: frecuencia de corte del modo TE11 y TM11, $f_c = 10$ GHz.
· epsilon_r: permitividad relativa del material dieléctrico, $\epsilon_r = 9$.
La relación de aspecto de la guía de ondas es a/b = \sqrt{3}, lo que significa que b = a/\sqrt{3}. Podemos reemplazar esto en la fórmula anterior y despejar $a$:
a=c2fcϵr+12=3×108 m/s2×1010 Hz×9+12×3≈1.0896 cma=2fc​2ϵr​+1​
​c​=2×1010 Hz×29+1​​3×108 m/s​×3
​≈1.0896 cm​
Por lo tanto, la dimensión de la pared ancha interior de la guía de ondas rectangular es de aproximadamente 1.0896 cm.
Punto anillo 
Explicación : Para encontrar el campo magnético en el punto P ubicado en (0,0,d) debido a la corriente que circula en un anillo circular, podemos aplicar la ley de Biot-Savart.
La ley de Biot-Savart establece que el campo magnético en un punto P debido a una corriente I que fluye a través de un elemento diferencial dl en un vector r es proporcional al producto cruzado del elemento diferencial y el vector de distancia r dividido por el cubo de la distancia.
Matemáticamente, la ley de Biot-Savart se expresa como:
dH = (μ₀ / 4π) * I * dl x r / r³
donde μ₀ es la permeabilidad del vacío.
Para encontrar el campo magnético en el punto P, necesitamos integrar sobre todo el anillo circular. Podemos asumir que el anillo circular es un conjunto de elementos diferenciales dl que están separados por un ángulo dθ.
Primero, podemos encontrar el campo magnético generado por un elemento diferencial dl que se encuentra en un ángulo θ del eje x en el punto P.