Medidas de tendencia central y dispersion

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Definición y ejemplos de las
Medidas de Tendencia Central
y Dispersión.
Fecha de entrega: 16 de Febrero 2023
Miembros del equipo:
Aguilar Corona Ximena
Álvarez Vázquez Sandra Paola
Barba Cárdenas Carolina Vianey
Cervantes Aceves Everest Valentino
Cruz Peregrino Roger Tiaamy
López Díaz Valentina
Ortiz Martínez Carolina
Ramirez Macias José Alberto
Media aritmética
La media aritmética, también conocida como promedio o simplemente media, es la
medida más importante, la cual nos permite conocer una medida de localización
central de los datos.
Ejemplo:
Las edades de 6 jóvenes que van a una fiesta son: 18, 20, 21, 21, 24, 26.
encontrar la edad media
M= 18+20+21+21+24+26/6=18
Mediana
Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de
mayor a menor.
Ejemplo:
El precio mediano de las unidades disponibles es de $70. Para determinarlo ordene
los precios de menor ($60) a mayor ($275) y seleccione el valor medio ($70). En el
caso de la mediana los datos deben ser por lo menos de un nivel ordinal de
medición.
Moda
Valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.
Ejemplo:
Una compañía creó 5 aceites para baño:
La gráfica muestra los resultados de una
encuesta de mercado que se diseñó para
determinar qué aceite de baño prefieren los
consumidores. La mayoría de los
encuestadores se inclinó por Lamoure, según
lo evidencia la barra más grande. Por
consiguiente, Lamoure representa la moda.
Rango
Es una medida de dispersión y la más sencilla de calcular, diferencia entre el valor
más alto y el valor más bajo, se basa solo en estas dos observaciones.
Ejemplo:
una empresa nos pide saber cual es su producto estrella durante los 10 años que
lleva operando, para ello se nos pide el rango del siguiente conjunto de valores
año vent
as
2013 2797
6
2014 3497
0m
2015 3970
2
2016 3287
6
2017 3005
2
2018 4328
9
2019 4972
6
2020 4872
8
2021 4003
4
2022 4598
7
R= 49726 - 27976= 21750
Media ponderada
La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada
cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o
peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos
por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma
ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como
resultado la media ponderada.
Ejemplo: Las notas de los tres exámenes de un alumno son 7, 5 y 9 (sobre 10). En
este ejemplo, la media ponderada es mayor que la media aritmética porque las dos
notas más altas tienen más peso que la otra.
Media geométrica
Es un tipo de media que se calcula como la raíz del producto de un conjunto de
números estrictamente positivos.
La media geométrica se calcula como un producto conjunto. Es decir, que todos los
valores se multiplican entre sí.
Ejercicio 1:
Calcule la media geométrica de la tasa de crecimiento porcentual anual de las
ganancias en las empresas comerciales del año 2015 al 2020 que se muestran a
continuación: 50,72,54,82,93.
Solución 1:
Media armónica
La media armónica es igual al número de elementos de un grupo de cifras entre la
suma de los inversos de cada una de estas cifras.
En otras palabras, la media armónica es una medida estadística recíproca a la
media aritmética, que es la suma de un conjunto de valores entre el número de
observaciones.
Ejemplo: Supongamos que una persona decide salir a correr 10km. Los primeros 2
km corren a 15 km/h, los siguientes 2km, a 17 km/h, los siguientes 2km, a 14 km/h,
y los otros dos tramos de 2km, a 13 km/h y 12 km/h, respectivamente.
Desviación estándar
Es una medida de la dispersión de los datos, cuanto mayor sea la dispersión
mayor es la desviación estándar, si no hubiera ninguna variación en los datos, es
decir, si fueran todos iguales, la desviación estándar sería cero. La desviación
estándar cuantifica la dispersión alrededor de la media aritmética. Informa de la
media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética.
Ejemplo:
Si tenemos una población de 10 personas con diferentes edades: 5, 7, 9, 3, 3, 4, 1,
5, 2, 9, ¿Cuál sería la edad media? y ¿Cuál es la desviación estándar?
Desviación media
La desviación media de un conjunto de datos, es la media aritmética de los valores
absolutos de lo que se desvía cada valor respecto a la media aritmética.
La fórmula de la desviación media es la siguiente:
Donde:
● x̄: media aritmética de los datos.
● x1, x2, x3, …, xn: datos.
● xi: cada uno de los datos.
● n: número de datos.
La desviación media también es llamada desviación promedio de la media o
desviación absoluta promedio. Es una medida de dispersión poco usada debido a la
dificultad de hacer cálculos con la función valor absoluto.
Varianza
La Varianza es una medida de dispersión que se utiliza para representar la
variabilidad de un conjunto de datos respecto de la media aritmética de los mismos.
Así, se calcula como la suma de los residuos elevados al cuadrado y divididos entre
el total de observaciones. No obstante, se trata de una medida que también puede
calcularse como la desviación típica al cuadrado.
Vamos a ver la fórmula utilizada para calcular la varianza:
Var (X) = (x1 – x’)2 + (x2 – x’)2 + … + (xn – x’) / N
Donde:
N representa el número total de observaciones o de datos utilizados para el cálculo
de la varianza.
x representa los datos utilizados para el cálculo de la varianza.
x’ representa la media aritmética calculada con los datos utilizados para el cálculo
de la varianza.
Ejercicio 1:
Calcule la varianza de los siguientes datos muestrales: 6, 8, 7, 10, 3, 5, 9, 8
Solución 1:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
● Σxᵢ = 56
● N = 8
● x̄ = 56/8 = 7
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
6 -1 1
8 1 1
7 0 0
10 3 9
3 -4 16
5 -2 4
9 2 4
8 1 1
Σxᵢ = 56 x̄ = 56/8 = 7 Σ(xᵢ – x̄)² = 36
Coeficiente de Variación
El coeficiente de variación, también denominado como coeficiente de variación de
Pearson, es una medida estadística que nos informa acerca de la dispersión relativa
de un conjunto de datos.
Es decir, nos informa al igual que otras medidas de dispersión, de si una variable se
mueve mucho, poco, más o menos que otra.
Ejemplo:
Supongamos que hay una ciudad con puros Ingleses y otra de puros Australianos.
La población de Ingleses tiene un peso medio de 2500 kg y una desviación típica de
200 kg. La población de Australiano tiene un peso medio de 30kg y una desviación
típica de 10 kg. Si comparamos la dispersión de ambas poblaciones mediante la
desviación típica podríamos pensar que hay mayor dispersión para la población de
Ingleses que para la de los Australianos.
Sin embargo al calcular el coeficiente de variación para ambas poblaciones, nos
daríamos cuenta que es justo al contrario.
Elefantes: 200/2500=0.08
Ratones: 10/30=0.33
Si multiplicamos ambos datos por 100, tenemos que el coeficiente de variación para
los Ingleses es de apenas un 8%, mientras que el de los Australianos es de un 33%.
Como consecuencia de la diferencia entre las poblaciones y su peso medio, vemos
que la población con mayor dispersión, no es la que tiene una mayor desviación
típica.