Calculo_Vectorial-33

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Recuerda que la prueba del Teorema fundamental del cálculo utilizó
el concepto de una suma de Riemann para aproximar el área bajo una
curva mediante el uso de rectángulos. Para las curvas polares usamos
nuevamente la suma de Riemann, pero los rectángulos se reemplazan
por sectores de un círculo.
Considera una curva definida por la función , donde
. Nuestro primer paso es dividir el intervalo en 
subintervalos de igual ancho. El ancho de cada subintervalo viene
dado por la fórmula , y el i-ésimo punto de partición 
 viene dado por la fórmula .
Figura 1.29 Una partición de una curva típica en coordenadas polares.
r = f(θ)
α ≤ θ ≤ β [α,β] n
Δθ = (β−α)/n
θi θ =i α+ iΔθ
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Cada punto de partición define una recta con pendiente 
que pasa a través del polo como se muestra en el gráfico anterior. Los
segmentos de recta están conectados por arcos de radio constante.
Esto define sectores cuyas áreas se pueden calcular utilizando una
fórmula geométrica. El área de cada sector se usa para aproximar el
área entre segmentos de recta sucesivos. Luego sumamos las áreas
de los sectores para aproximar el área total. Este enfoque
proporciona una aproximación de suma de Riemann para el área
total.
En la siguiente escena interactiva, diseñada por Tom Ahlschwede,
puedes visualizar el límite de la suma de las áreas del sector. El límite
inferior y el límite superior se pueden cambiar, también cambia la
forma de la ecuación polar 
La fórmula para el área de un sector de un círculo se ilustra en la
siguiente figura.
θ = θi tanθi
r = a sen(θ)2
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https://www.geogebra.org/m/TQDHkRSH
Juan Rivera
Sello
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Figura 1.30 El área de un sector de un círculo viene dada por 
Recuerda que el área de un círculo es . Al medir ángulos en
radianes, 360 grados es igual a radianes. Por lo tanto, una fracción
de un círculo se puede medir por el ángulo central . La fracción del
círculo está dada por , por lo que el área del sector es esta fracción
multiplicada por el área total:
Dado que el radio de un sector típico en la Figura 1.29 viene dado por
, el área del sector iésimo está dada por
Por lo tanto, una suma de Riemann que se aproxima al área viene
dada por
A = θr2
1 2
A = πr2
2π
θ
2π
θ
A = πr =(
2π
θ ) 2 θr
2
1 2
r =i f(θ )i
A =i (Δθ)(f(θ ))2
1
i
2
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/129.png