ecuaciones con dos incognitas

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FEC-03_M1AA2L2_Sistemasdos 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
	
  
	
  
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 
	
  Sistemas	
  de	
  ecuaciones	
  con	
  dos	
  incógnitas	
  
 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
Ya resolvimos problemas que nos conducían a plantear una ecuación con una incógnita, debido a 
que el valor que necesitábamos conocer era solamente uno o la relación que existía estaba 
basada en una variable, pero ¿qué sucede cuando tenemos más de una variable? 
 
 
Es posible establecer una ecuación con más de una 
variable al aplicar correctamente el lenguaje matemático. 
 
 
Por	
  ejemplo:	
  
 
La suma de un número más el doble de otro número es igual a 17. ¿Cuáles son esos números? 
 
Estableciendo las variables 
 
 Un número = x 
 El doble de otro número y2= 
 
Por lo tanto, la suma de un número más el doble del otro número es igual a 17 será: 
172 =+ yx 
 
 
Si queremos despejar una variable, ésta quedará en 
función de la otra variable, es decir, no podemos despejar 
las dos variables al mismo tiempo. 
 
 
 
 
Podremos encontrar varias combinaciones que cumplen 
con la ecuación, si le damos un valor a la variable que no 
se encuentra despejada y sustituimos valores en la 
ecuación. 
 
 
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2 
 
 
Despejando x 
yx 217 −= 
 
Despejando y 
2
17 xy −= 
 
Si 1=y entonces 
15)1(217 =−=x 
Los números serán: 15=x y 
1=y 
 
Si 2=y entonces 
13)2(217 =−=x 
Los números serán: 13=x y 
2=y 
 
Si 4=y entonces 
9)4(217 =−=x 
Los números serán 9=x y 
4=y 
 
Si 1=x entonces 8
2
16
2
117
==
−
=y 
Los números serán: 1=x y 8=y 
 
Si 3=x entonces 7
2
14
2
317
==
−
=y 
Los números serán: 3=x y 7=y 
 
Si 5=x entonces 6
2
12
2
517
==
−
=y 
Los números serán: 5=x y 6=y 
 
 
 
 
 
 
Como se puede observar, este problema tener varias 
soluciones, en este caso, sólo calculamos algunas 
combinaciones, pero existen muchas más que cumplen 
con la igualdad. 
 
 
 
¿Pero qué ocurre si el problema dice lo siguiente? 
 
La suma de un número más el doble del otro número es igual a 17 y la diferencia de esos dos 
números es 5. ¿Cuáles son esos números? 
 
Ahora, tenemos el mismo problema pero con una restricción, la cual dos dice que de los dos 
números que encontremos solamente nos interesan aquellos cuya diferencia sea igual a 5. 
 
Es decir, la resta entre los dos números debe ser igual a 5. 5=− yx 
 
 
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3 
 
En las soluciones que encontramos, veamos cuál de ellas cumple con la restricción. 
 
 
Soluciones que cumplen con la 
ecuación 172 =+ yx 
 
La diferencia entre los dos 
números 
5=− yx 
15=x y 1=y 14115 =− No cumple 
13=x y 2=y 11213 =− No cumple 
9=x y 4=y 549 =− Sí cumple 
1=x y 8=y 781 −=− No cumple 
3=x y 7=y 473 −=− No cumple 
5=x y 6=y 165 −=− No cumple 
 
 
Como puedes observar, solamente los números 9=x y 4=y cumplen con las dos condiciones: 
 
1) La suma de un número más el doble del otro número es igual a 17 
 
172 =+ yx ⇒ 17)4(29 =+ 
 
2) La diferencia de los dos números es 5 
 
5=− yx ⇒ 549 =− 
 
 
Es común encontrar problemas donde interviene más de 
una variable y que además se tiene que cumplir con más 
de una condición. En estos casos, es conveniente 
establecer una ecuación para cada condición. 
 
 
 
 
Cuando se tiene más de una ecuación con más de una 
incógnita o variable, se dice que se tienen un sistema de 
ecuaciones. 
 
 
 
 
 
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4 
 
 
 
 
Por otro lado, cuando encontramos un valor para cada 
una de las variables que hacen verdaderas a cada una de 
las ecuaciones simultáneamente, se dice que tenemos la 
solución del sistema. 
 
 
El sistema de ecuaciones que representa al problema anterior es: 
 
172 =+ yx 
5=− yx 
 
Observa que está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. 
 
Por tanto, la solución del sistema es 9=x y 4=y , que son los valores que hacen 
verdaderas a las dos ecuaciones al mismo tiempo. 
 
 
 
En este problema para encontrar la solución al sistema, primero encontramos algunos valores que 
hacían verdadera la primera ecuación y después comenzamos a buscar cuáles de las respuestas 
que ya teníamos cumplían con la segunda ecuación. 
 
Este método, puede ser muy largo y puede darse el caso de que no encontremos la solución tan 
fácilmente. 
 
 
Uno de los métodos que se comenzaron a utilizar para 
resolver un sistema de ecuaciones fue graficando las 
ecuaciones del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
 
 
 
¿Recuerdas cómo se hace una gráfica? 
 
Figura 1. Plano cartesiano. 
 
Recordemos un poco los cursos de secundaria. 
 
Para graficar cualquier ecuación lo hacemos en un plano cartesiano, el cual está formado por dos ejes o 
rectas: 
 
 
Una horizontal denominada eje de las x o eje de las 
abscisas y la otra vertical denominada eje de las y o eje 
de las ordenadas y el punto donde se cruzan las dos 
rectas se le llama origen. 
 
Del origen a la derecha se encuentran los valores 
positivos de x, y a la izquierda del origen los valores 
negativos. 
 
Del origen hacia arriba se encuentran los valores 
positivos de y, mientras que los valores negativos se 
encuentran del origen hacia abajo. 
 
 
 
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6 
 
 
Figura 2. Elementos del plano cartesiano. 
 
 
 
Para graficar cualquier ecuación, primero despejamos la 
variable y de la ecuación y le damos valores a la 
variable x , por último, sustituimos los valores de x en la 
ecuación para obtener los valores de y . A este 
procedimiento le llamamos tabulación. 
 
 
 
Utilicemos el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. 
 
 172 =+ yx 
5=− yx 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
 
Comencemos por hacer la tabulación de las dos ecuaciones. 
 
 
172 =+ yx 
 
5=− yx 
 
Despejando y de la ecuación: 
2
17 xy −= 
 
Le damos valores a la variable x y sustituimos 
en la ecuación para obtener los valores de y . 
 
x 
2
17 xy −= y 
 
2− 
5.9
2
19
2
217
2
)2(17
==
+
=
−−
=y 5.9 
1− 92
18
2
117
2
)1(17
==
+
=
−−
=y 9 
0 5.82
17
2
)0(17
==
−
=y 5.8 
1 82
16
2
)1(17
==
−
=y 8 
2 5.7
2
15
2
)2(17
==
−
=y 5.7 
3 7
2
14
2
)3(17
==
−
=y 7 
 
Despejando y de la ecuación: 
 
5−= xy 
 
Le damos valores a la variable x y sustituimos 
en la ecuación para obtener los valores de y . 
 
 
 
x 5−= xy y 
2− 752 −=−−=y 7− 
1− 651 −=−−=y 6− 
0 550 −=−=y 5− 
1 451 −=−=y 4− 
2 352 −=−=y 3− 
 
 
Recuerda que para graficar un punto en 
una ecuación se toma un valor de x y 
un valor de y , de los cuales formamos 
un par ordenado ),( yx y nos indica la 
coordenada del punto que se va a 
graficar. 
 
Para graficar la ecuación 172 =+ yx , 
utilizamos los valores obtenidos al tabular 
y graficamos los puntos (-2,9.5), (-1,9), 
(0,8.5), (1,8), (2,7.5), y (3,7) 
 
 
 
Figura 3. Ecuación de la recta 172 =+ yx 
formada por los puntos (-1,9), (1,8), y (3,7). 
 
 
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8 
 
 
 
 
 
 
Para graficar la ecuación 5=− yx , 
utilizamos los valores obtenidos al tabular 
y graficamos los puntos (-2,7), (-1,6), (0,-
5), (1,-4), (2,-3). 
 
 
Figura 4. Ecuación de la recta 5=− yx formada 
por los puntos (-2,7), (-1,6), (0,-5), (1,-4), (2,-3). 
 
 
 
 
 
Si graficamos ambas ecuaciones en el 
mismo plano cartesiano, tendremos la 
gráfica que se muestra en la figura 5. 
 
La línea roja corresponde a la ecuación 
172 =+ yx y la línea azul a la ecuación 
5=− yx . 
 
Como puedes observar, el punto donde 
se cruzan las dos líneas corresponde a la 
solución del sistema, donde el valor de 
la coordenada (9,4) corresponde al valor 
de 9=x y el valor de 4=y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando tienes un sistema de ecuaciones lineales con dos 
incógnitas, puedes encontrar la solución del sistema si 
graficas las dos ecuaciones en un mismo plano 
cartesiano. La solución del sistema será el punto o los 
puntos que tengan en común las dos rectas. 
 
 
 
 
 
Figura 5. Ecuación de las rectas 172 =+ yx 
 (línea roja) y 5=− yx (línea azul). 
 
 
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9 
 
 
 
Recuerda que un punto se representa por un par 
ordenado (x, y) que contiene los valores de las variables 
que estamos buscando. 
 
 
 
Cuando graficamos dos ecuaciones con dos incógnitas, 
se pueden presentar tres tipos de gráficas, las cuales se 
representan en la tabla 1. 
 
 
 
Las dos ecuaciones 
tienen un punto en 
común 
 
 
Las dos ecuaciones no 
tienen ningún punto en 
común 
 
Las dos ecuaciones tienen 
todos los puntos en común 
 
 
El sistema tiene una 
solución 
(el punto de intersección) 
 
 
El sistema es 
consistente 
 
Las ecuaciones son 
independientes 
 
 
 
El sistema no tiene 
solución 
( no hay puntos de 
intersección) 
 
El sistema es 
inconsistente 
 
Las ecuaciones son 
paralelas 
 
 
 
 
 
El sistema tiene infinitas 
soluciones 
( las dos rectas coinciden 
en los mismos puntos) 
 
El sistema es consistente 
 
Las ecuaciones son 
Dependientes 
 
 
Tabla 1. Soluciones, tipos de sistemas y ecuaciones. 
 
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10 
 
Ejemplo	
  1:	
  
 
Grafica el siguiente sistema de ecuaciones: 
2
4
=−
=+
yx
yx
 
Con base en la gráfica indica: 
a) La solución del sistema 
b) Qué tipo de sistema es 
c) Cómo son las ecuaciones 
 
Solución: 
 
Comenzamos por hacer la tabulación de las dos ecuaciones, despejando la variable y , y dándole 
valores a la variable x . 
 
 
Observa cómo desde la tabulación de los valores podemos definir la solución del sistema. 
 
Figura 6. Ecuación de las rectas 4=+ yx (línea roja) y 
2=− yx (línea azul), punto de intersección (3,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
 
Tomando en cuenta la gráfica que se realizó podemos observar lo siguiente: 
 
a) La solución del sistema es el punto de intersección de las dos rectas y este punto tiene las 
coordenadas ( )1,3 . 
 
b) El tipo de sistema es consistente, debido a que el sistema tiene solución. 
 
c) Las ecuaciones son independientes, debido a que las gráficas de las ecuaciones se cruzan en 
un solo punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
Ejemplo	
  2:	
  
Grafica el siguiente sistema de ecuaciones 
222
3
−=−
=−
yx
yx
 
Con base en la gráfica indica: 
a) La solución del sistema 
b) Qué tipo de sistema es 
c) Cómo son las ecuacionesSolución: 
 
Comenzamos por hacer la tabulación de las dos ecuaciones, despejando la variable y , y dándole 
valores a la variable x . 
 
 
 
3=− yx 
 
222 −=− yx 
Despejando y 
3−= xy 
 
x 3−= xy y 
2−
 
532 −=−−=y
 
5−
 
1−
 
431 −=−−=y
 
4−
 
0
 
330 −=−=y
 
3−
 
1
 
231 −=−=y
 
2−
 
2
 1− 
Despejando y 
1
2
22
+=
+
= xxy 
 
x 1+= xy y 
1−
 
011 =+−=y
 
 
0
 
110 =+=y
 
1
 
211 =+=y
 
2
 
2
 
3
 
3
 
413 =+=y
 
4
 
 
 
132 −=−=y
0
1
312 =+=y
 
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13 
 
 
Figura 7. Ecuación de las rectas 1+= xy (línea roja) y 
1+= xy (línea azul), dos rectas paralelas. 
 
 
Observa cómo en este caso las dos rectas son paralelas, es decir, no se van a cruzar en ningún punto. 
Con base en la gráfica podemos decir que: 
 
a) No existe solución al sistema porque las rectas no tienen un punto de intersección. 
 
b) El tipo de sistema es inconsistente, debido a que el sistema no tiene solución. 
 
c) Las ecuaciones son paralelas, debido a que las gráficas de las ecuaciones no se cruzan en 
ningún punto. 
 
Ejemplo	
  3:	
  
Grafica el siguiente sistema de ecuaciones: 
1296
432
=−
+=
yx
yx
 
Con base en la gráfica indica: 
a) La solución del sistema 
b) Qué tipo de sistema es 
c) Cómo son las ecuaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
 
Solución: 
 
Comenzamos por hacer la tabulación de las dos ecuaciones, despejando la variable y , y dándole 
valores a la variable x . 
 
432 += yx 1296 =− yx 
Despejando y 
3
42 −
=
xy 
 
 
x
 
3
42 −
=
xy
 
 
y 
2−
 3
4)2(2 −−
=y
 
 
1−
 3
4)1(2 −−
=y
 
2
3
6
−=
−
 
0
 3
4)0(2 −
=y
 
33.1
3
4
−=
−
 
1 
3
4)1(2 −
=y
 
66.0
3
2
−=
−
 
2
 3
4)2(2 −
=y
 
0
3
0
= 
Despejando y 
9
126 −
=
xy 
 
 
x
 
9
126 −
=
xy
 
 
y 
2−
 9
12)2(6 −−
=y
 
 
1−
 9
12)1(6 −−
=y
 
2
9
18
−=
−
 
0
 9
12)0(6 −
=y
 
33.1
9
12
−=
−
 
1 9
12)1(6 −
=y
 
66.0
9
6
−=
−
 
2
 
 0
9
0
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66.2
3
8
−=
−
66.2
9
24
=
−
9
12)2(6 −
=y
 
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15 
 
Cuando le asignamos valores a la variable x en ambas ecuaciones obtenemos los mismos 
resultados, esto implica que al graficar solamente se vea una sola línea ya que todos los puntos 
coinciden. 
 
 
Figura 8. Ecuación de las rectas 1296 =− yx y 
432 += yx (una línea sobre la otra). 
 
 
 
Tomando en cuenta la gráfica que se realizó podemos 
observar lo siguiente: 
 
a) La solución del sistema. Tiene infinitas soluciones ya 
que todos los puntos 
 coinciden. 
 
b) El tipo de sistema es consistente porque el sistema 
tiene solución. 
 
c) Las ecuaciones son dependientes debido a que las 
gráficas de las ecuaciones coinciden en todos los puntos, 
por lo tanto, tienen las mismas soluciones. 
 
 
 
 
 
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16 
 
 
 
Como puedes darte cuenta, solamente existen dos tipos 
de sistemas: 
 
- Sistema consistente. Es aquel donde los sistemas 
tienen solución y éstas pueden tener: 
• Una solución. Cuando las gráficas de las rectas 
se cruzan en un punto. 
• Infinitas soluciones. Cuando las gráficas de las 
rectas se cruzan en todos los puntos. 
 
- Sistema inconsistente: es aquel donde que no tiene 
solución. 
 
 
 
 
Con respecto a las ecuaciones podemos decir que 
existen dos tipos: 
 
- Ecuaciones independientes, las cuales pueden ser 
de dos tipos: 
• Paralelas: son las rectas cuya gráfica no se 
cruzan en ningún punto. 
• No son paralelas: las que se cruzan en un 
punto. 
 
- Ecuaciones dependientes: Son aquellas que al 
graficarse todos los puntos coinciden en la misma 
línea. 
 
 
 
 
En esta lectura analizamos los diferentes sistemas de 
ecuaciones y la forma que se graficó fue tabulando, es 
decir, dando valores a la ecuación para obtener pares 
ordenados y graficarlos en un plano cartesiano.