ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
	
  Ecuaciones	
  trigonométricas	
  
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
En el Módulo de Fundamentos de Álgebra pudiste ver que: 
 
 
 
Una ecuación es una expresión matemática que contiene 
un símbolo de igualdad. En ambos lados de la igualdad 
existen términos. 
 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
03 =− yx 
 
3823 −=− xx 
 
 
El propósito de una ecuación es representar una situación o problema real en lenguaje matemático. 
 
De la misma forma y de acuerdo con Fuenlabrada (2007): 
 
 
 
 
“Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre 
funciones trigonométricas que sólo se satisface para un 
determinado valor o valores de ángulo” (p. 149). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
A continuación te presento algunos ejemplos: 
 
1)(2 =Asen 
 
3)cos(2)(cos2 =+ AA 
 
Para resolver una ecuación trigonométrica es necesario que consideres lo siguiente: 
 
• Toma las funciones trigonométricas que se presenten en la ecuación como una variable. 
 
• Si se presenta más de una función trigonométrica utiliza las identidades para simplificar la 
expresión y deja solamente en función de una sola variable (seno, coseno, tangente). 
 
• Utiliza tus conocimientos algebraicos como las propiedades de la igualdad, la factorización y la 
fórmula para la solución de cuadráticas para despejar la función trigonométrica. 
 
• Por último, despeja el valor del ángulo utilizando la función trigonométrica inversa correspondiente 
(seno, coseno, tangente, etc.) para que lo puedas obtener por medio de la calculadora. 
 
 
Antes de comenzar a resolver ecuaciones debes tomar en consideración que: 
 
 
 
 
Los ángulos de una función trigonométrica pueden tomar 
cualquier valor (positivo o negativo). Además, los signos 
de las funciones trigonométricas pueden tener valores 
positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que 
se encuentren. 
 
 
 
 
En la tabla 1 se muestran los signos que tienen cada una de las funciones trigonométricas de acuerdo con 
el cuadrante en que se encuentre el triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Primer cuadrante 
0° a 90° 
 
 
 
Funciones trigonométricas y sus signos 
 
 
 
 
+=
+
+
==
+=
+
+
==
+=
+
+
==
)(
)()tan(
)(
)()cos(
)(
)()(
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 
+=
+
+
==
+=
+
+
==
+=
+
+
==
)(
)()csc(
)(
)()sec(
)(
)()cot(
co
hA
ca
hA
co
caA
 
Segundo cuadrante 
90° a 180° 
 
 
 
Funciones trigonométricas y sus signos 
 
 
−=
−
+
==
−=
+
−
==
+=
+
+
==
)(
)()tan(
)(
)()cos(
)(
)()(
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 
+=
+
+
==
−=
−
+
==
−=
+
−
==
)(
)()csc(
)(
)()sec(
)(
)()cot(
co
hA
ca
hA
co
caA
 
 
Tercer cuadrante 
180° a 270° 
 
 
 
Funciones trigonométricas y sus signos 
 
 
+=
−
−
==
−=
+
−
==
−=
+
−
==
)(
)()tan(
)(
)()cos(
)(
)()(
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 
−=
−
+
==
−=
−
+
==
+=
−
−
==
)(
)()csc(
)(
)()sec(
)(
)()cot(
co
hA
ca
hA
co
caA
 
 
 
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Cuarto cuadrante 
270° a 360° 
 
 
Funciones trigonométricas y sus signos 
 
 
−=
+
−
==
+=
+
+
==
−=
+
−
==
)(
)()tan(
)(
)()cos(
)(
)()(
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 
−=
−
+
==
+=
+
+
==
−=
−
+
==
)(
)()csc(
)(
)()sec(
)(
)()cot(
co
hA
ca
hA
co
caA
 
Tabla 1. Signos de las funciones trigonométricas de acuerdo con el cuadrante. 
 
 
A continuación te presento algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 1 
 
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivos de 0° a 360°. 
 
01)cos(2 =−A 
 
 
Solución 
 
Resolver una ecuación trigonométrica implica encontrar el valor que hace verdadera la ecuación. En 
este caso, el valor desconocido es el de A que representa el ángulo de la función trigonométrica. Sin 
embargo, es conveniente despejar primero la función trigonométrica utilizando las propiedades de la 
igualdad. 
 
 
01)cos(2 =−A 
 
 
 Despejando: )cos(A 
 1)cos(2 =A 
 2
1)cos( =A
 
 
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Ahora, el problema es encontrar en qué cuadrantes el coseno es positivo y para qué valores de A el 
coseno es igual a 2
1
. 
 
Para encontrar el valor del ángulo puedes utilizar la función inversa del coseno y encontrar el valor en la 
calculadora científica. 
 
 
 Así 2
1)cos( =A
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= −
2
1cos 1A
 
 
Por lo tanto, el valor del ángulo °= 60A 
 
Sin embargo, la calculadora científica solamente proporciona los resultados del ángulo del primer 
cuadrante, ya que en éste todas las funciones trigonométricas son positivas. 
 
Si observas la tabla 1, el coseno es positivo solamente en el primer y cuarto cuadrante. 
 
 
 
 
 Figura 1. Representación de ángulos de 60° y 300°. 
 
 
Por lo tanto, los ángulos que hacen verdadera la 
ecuación son: 
 
°= 60A que representa el ángulo del primer 
cuadrante y °=−°= 30060360A que representa el 
ángulo de 60° en el cuarto cuadrante. 
 
Recuerda que los ángulos siempre se miden a 
partir del eje positivo de las ‘equis’ (X). 
 
 
 
 
Si deseas comprobarlo puedes hacer las operaciones correspondientes en la calculadora científica. 
 
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5.0)300cos(
5.0)60cos(
=°
=°
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivosde 0° a 360° 
 
0)cos(2)(2 =− AAsen 
 
Solución 
 
En este caso tienes una ecuación con dos variables, por lo que es conveniente utilizar las identidades 
trigonométricas para dejar la ecuación en función de una sola variable. 
 
De la identidad pitagórica 1)(cos)(
22 =+ AAsen despeja el )(
2 Asen 
 
 
Así )(cos1)(
22 AAsen −= y sustituyendo en la ecuación: 
 
 0)cos(2)(
2 =− AAsen 
 
 0)cos(2)(cos1
2 =−− AA 
 
Obtendrás una ecuación cuadrática de una sola variable. En ella reacomodas las cifras escribiendo 
primero el término cuadrático, después el lineal y por último, el término independiente para aplicar la 
fórmula de las cuadráticas. 
 
01)cos(2)(cos2 =+−− AA 
Comparando con una ecuación cuadrática de la forma 02 =++ cbxax 
 
)cos(,1,2,1 Axcba ==−=−= 
 
Al aplicar la ecuación cuadrática: a
acbbx
2
42 −±−
=
 
 
 
( )
2
8284.22
2
82
2
442
)1(2
)1)(1(42)2(
)cos(
2
−
±
=
−
±
=
−
+±
=
−
−−−±−−
=A
 
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De aquí se desprenden dos respuestas: 
 
4142.0
2
8284.22)cos(
4142.2
2
8284.22)cos(
=
−
−
=
−=
−
+
=
A
A
 
 
De la primera respuesta, si despejas el valor de A como )4142.2(cos
1 −= −A la calculadora te marcará 
un error, ya que los valores permitidos (rango) de la función coseno son de –1 a 1, por lo que puedes 
desechar esta respuesta. 
 
De la segunda, al despejar el valor de A como )4142.0(cos
1−=A el valor que proporciona la 
calculadora es de °= 53.65A . 
 
El coseno es positivo. Por ello recuerda que sólo el primer y el cuarto cuadrante son positivos y la 
calculadora sólo proporciona el ángulo del primer cuadrante. Para obtener el ángulo del cuarto 
cuadrante solamente se lo restas a 360°. 
 
Así, para calcular el ángulo del cuarto cuadrante, el valor del ángulo será: 
 
°=°−°= 47.29453.65360A 
 
Por lo tanto, los ángulos que satisfacen la ecuación son: 
 
°=
°=
47.294
53.65
A
yA
 
 
Si quieres, puedes comprobarlo al calcular el coseno de los ángulos obtenidos: 
 
 
4142.0)47.294cos(
4142.0)53.65cos(
=°
=°
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Como se dijo al inicio de la lectura, el propósito de una ecuación es representar una situación real en 
lenguaje matemático. Por tal motivo a continuación te presento el siguiente problema. 
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La fórmula 21
12
1
tan
mm
mm
+
−
=θ
 se usa para calcular 
el ángulo entre dos líneas que se cruzan, donde 1m 
y 2m indican la pendiente (inclinación) de cada una 
de las rectas. 
 
Mediante el uso de esta información determina los 
ángulos internos de un triángulo formado por 3 
rectas cuyas pendientes son 
31,0 =−== cba mymm . 
 
 
 
Figura 2. Triángulo formado por 3 rectas donde se conocen sus 
pendientes. 
 
 
Solución 
Comienza con el cálculo del ángulo C. Utiliza
1,0 12 −==== mmymm ab y sustituye en la fórmula 
21
12
1
tan
mm
mmC
+
−
=
 
 
 
 
 
 
 
En este caso, como estás buscando los ángulos internos del triángulo toma como resultado el valor 
encontrado. 
 
Continúa con el ángulo A. Utiliza 
3,0 21 ==== mmymm cb y sustituye en la fórmula 
21
12
1
tan
mm
mmA
+
−
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
)1)(0(1
)1()0(tan ==
−+
−−
=C
°== − 45)1(tan 1C
3
1
3
)0)(3(1
)0()3(tan ==
+
−
=A
°== − 56.71)3(tan 1A
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Para encontrar el tercer ángulo puedes realizar el mismo cálculo o utilizar la propiedad de los triángulos 
que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. 
 
Así °=++ 180CBA , sustituyendo los ángulos conocidos 
 
°=°++° 1804556.71 B 
 
Despeja el valor de B: 
 
°=°−°−°= 44.634556.71180B 
 
 
 
Por lo tanto, los valores de los ángulos internos del 
triángulo son: 
 
°=°=°= 4544.63,56.71 CyBA
 
 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
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Referencia	
  
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. 
 
	
  Bibilografía	
  
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed.; M. C. Ruiz, Trad.). 
México: McGraw-Hill. 
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed.; Á. C. González, Trad.). México: 
McGraw-Hill. 
Hughes-Hallet, D., Gleason, A., Frazer, P., Flath, D., Gordon, S., Lomen, D., 
Lovelock, D., McCallum, W., Osgood, B., Quinney, D., Pasquale, A., 
Rhea, K., Tecosky-Feldman, J., Trash, J. & Tucker, T. (2004). Cálculo 
aplicado (A. E. García, Trad.). México: CECSA. 
Martínez, M. (1996). Matemática 3 Geometría Analítica. México: McGraw-Hill. 
Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica 
(10ª. ed.; H. Villagómez, Trad.). México: International Thomson. 
Zill, D. & Dejar, J. (1992). Álgebra y Trigonometría (2ª. ed.; G. Ramírez, Trad.). 
México: McGraw-Hill.