simplificacion expresiones racionales

Vista previa del material en texto

Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 Simplificación de expresiones racionales 
 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
¿Recuerdas qué es un número racional? 
 
 
 
Un número racional es aquel que puede representarse 
como la división de dos números enteros, siempre y 
cuando el denominador sea diferente a cero. 
 
 
Se representa matemáticamente como: 
 
Q= 






 0,| qenterossonqyp
q
p
 
 
Aplicando el mismo concepto de número racional, podemos decir que: 
 
 
 
Una expresión racional es aquella que se representa 
como la división de dos expresiones algebraicas donde es 
importante hacer notar que el denominador de este tipo de 
expresiones no puede ser igual a cero, ya que la división 
entre cero no está definida para los números reales. 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando, podemos decir que una expresión racional 
es una expresión de la forma 
q
p
, donde qyp son 
polinomios y 0q . 
 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
2 
 
 
En una expresión racional es importante identificar qué 
valores de la variable hacen que el denominador sea cero, 
ya que también ocasionan que la expresión racional no 
pueda ser representada por un número real. 
 
 
 
Veamos algunas expresiones racionales en donde se identifica el valor no permitido de la variable. 
 
Expresión racional Valor no permitido de la variable 
x
3
 
0x 
Si 0x entonces 

0
3
 un valor no definido 
x
x2
 
0x 
 
1
3


a
a
 
1a 
Si 1a entonces 
1
3


a
a
=
0
4
11
31



 un valor no definido 
2
52


b
bb
 
2b 
 
92 y
y
 
Dos valores no permitidos 
33  yyy 
0
3
9)3(
3
2


 y 
0
3
9)3(
3
2




 
 
103
2
2 

xx
x
 
Dos valores no permitidos 
52  xyx 
0
0
10)2(3)2(
22
2



 y 
0
0
10)5(3)5(
25
2



 
xx
xxx
4
53
3
23


 
Tres valores no permitidos 
0x 2x y 2x 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
3 
 
 
Cuando resolvemos problemas que incluyen expresiones racionales, debemos asegurarnos de escribir la 
respuesta en forma simplificada, es decir, cuando el numerador y el denominador no tienen factores 
comunes. De aquí surgen dos preguntas importantes. 
 
¿Qué son los factores? y ¿cuándo podemos o debemos simplificar? 
 
Atendamos primero la pregunta acerca de los factores. 
 
 
 
Recuerda que un número se puede descomponer en sus 
factores primos. 
 
 
 
Por ejemplo: 
 
El número )2)(3)(7(42  , los números 7, 3 y 2 son los factores, es decir, son los números que al 
multiplicarse se obtiene nuevamente el número 42. 
 
Si tomamos como ejemplo )2)(2(42  xxx , los factores son )2()2(  xyx . 
 
 
¿Cuándo podemos o debemos simplificar? 
 
 
Recuerda que si en el numerador y el denominador 
tenemos un mismo factor, éste siempre será igual a uno. 
 
 
Por ejemplo: 
 
1
5
5
 , 1
3
3
 , 1
1
1



x
x
 
 
 
Si un número se pude descomponer en sus factores primos, entones cada uno de sus factores se puede 
dividir y será igual a 1. 
 
 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
4 
Ejemplo 1: 
 
 
 
 
 
2
3
42
63
 
 
 
Recuerda que esta expresión está simplificada y, por lo 
tanto, es equivalente. 
 
 
 
De la misma forma, si tenemos una expresión algebraica, la cual puede factorizarse, y si el factor del 
numerador es igual al factor del denominador, éste se puede dividir y el resultado será igual a uno. 
 
 
 
 
Es muy importante que recuerdes que los factores no 
desaparecen por ‘magia’, lo que se está aplicando es la 
misma regla que en los ejemplos anteriores. 
 
 
Como 1
2
2



x
x
, al multiplicar el 1 por la expresión 2x , el resultado es 2x . 
 
 
Tomando en cuenta lo anterior, podemos seguir estos 
pasos para realizar una simplificación de expresiones 
racionales: 
 
1) Factoriza completamente tanto el numerador como el 
denominador. 
2) Divide los factores comunes para simplificar al máximo. 
 
 

)7)(3)(2(
)7)(3)(3(
42
63
)7)(3)(2(
)7)(3)(3(
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
5 
Analiza los siguientes ejemplos donde se simplifican expresiones racionales. 
 
 
Ejemplo 2: 
Simplifica la siguiente expresión racional: 
86
6
2
2


xx
xx
 
 
1.-Factoriza completamente. 
 
  
  24
23
86
6
2
2





xx
xx
xx
xx
 
 
2.- Simplifica los factores iguales. 
 
3.-La expresión simplificada es: 
 
 
 4
3
86
6
2
2





x
x
xx
xx
 
 
 
Ejemplo 3: 
Simplifica la siguiente expresión racional: 
23
42
)4(5
)4(30


xx
xx
 
 
 
Observa que esta expresión ya está factorizada, sólo aplica las leyes de los exponentes para la 
simplificación. 
 
   212432
23
42 4)3)(2(
)5(
4)3)(2)(5(
)4(5
)4(30 




 
 xxxx
xx
xx
 
 
 
La expresión simplificada y sin exponentes negativos es: 
 
 
x
x
xx
xx
2
23
42 46
)4(5
)4(30 



 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
6 
 
 
En este caso, es evidente, desde un inicio, que 30/5 = 6, 
pero como esto no siempre ocurrirá, es mejor que 
practiques la descomposición en factores primos. 
 
 
 
Ejemplo 4: 
Simplifica la siguiente expresión racional: 
65
8
2
3


xx
x
 
 
1.-Factoriza completamente. 
 
  
)3)(2(
422
65
8 2
2
3





xx
xxx
xx
x
 
 
 
2.-Simplifica los factores iguales. 
 
 
 
3.- La expresión factorizada es: 
 
 
)3(
42
65
8 2
2
3





x
xx
xx
x
 
 
 
 
Ejemplo 5: 
Simplifica la siguiente expresión racional: 
32
2
42
48
xx
xx


 
 
1. Factoriza completamente. 
 
)21(2
)12(4
42
48
232
2
xx
xx
xx
xx





 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida,ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
7 
 
2.- Observa cómo los factores se parecen, sin embargo, no se ve claramente cómo se pueden simplificar. 
En este caso podemos reacomodar los factores para que sea más clara la simplificación. 
 
    
    122
1222
)21(2
)12(4
42
48
232
2








xxx
xx
xx
xx
xx
xx
 
 
 
 
3.- La expresión simplificada es: 
 
xxx
xx 2
42
48
32
2



 
 
 
Ejemplo 7: 
 
Simplifica la siguiente expresión racional: 
152
12
2
2


xx
xx
 
 
1. Factoriza completamente. 
 
Primero hazlo con el signo para facilitar el proceso. 
 
    
  35
34
152
12
152
12
2
2
2
2








xx
xx
xx
xx
xx
xx
 
 
 
2. Simplifica los factores iguales. 
 
 
3. La expresión simplificada es: 
 
 
 5
4
152
12
2
2





x
x
xx
xx
 
 
Versión 2012 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
8 
 
 
La simplificación de expresiones es importante, ya que es 
más sencillo resolver una operación con expresiones 
racionales cuando ésta se encuentra simplificada. 
 
 
 
Te invito a que practiques la simplificación de expresiones racionales haciendo los ejercicios referentes al 
tema.