CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

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MECÁNICA - Cinemática del Cuerpo Rígido 
 Ing. Eduardo Marcelo Secco - UTN – Facultad Regional Haedo 
(1) 
 
CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO 
 
MODELO FÍSICO MATEMÁTICO 
 
En el capítulo correspondiente a cinemática del punto pusimos de manifiesto la necesidad de un 
sistema de referencia fijo, aclarando también que el mismo no existe, pero que desde el punto de 
vista práctico, al menos para los problemas de la técnica en nuestro planeta, obteníamos una muy 
buena aproximación considerando un sistema solidario a la tierra como fijo (para el desarrollo 
del tema que nos toca, admitiremos tal aproximación como válida). 
Asimismo en el modelo anterior, al ser las dimensiones del cuerpo pequeñas frente a las 
dimensiones del movimiento, despreciamos las primeras frente a las segundas, llegando al 
concepto de punto (sin dimensiones). 
Bajo ésta hipótesis, los puntos solo experimentan movimientos de traslación, quiere decir, que si 
un vector rotación pasa por el mismo, el punto no se entera en términos de movimiento de su 
existencia. Gráficamente: 
 
 
Nos quedamos de esta abstracción con un concepto importante para la comparación: Los puntos 
solo experimentan movimientos de traslación. 
 
Pasemos ahora al concepto de cuerpo 
 
Este nuevo modelo no puede responder al cumplimiento de la primera hipótesis formulada 
(dimensiones del cuerpo pequeñas comparadas con las del movimiento) o bien puede 
considerarse como una mejor aproximación a la realidad. 
Lo cierto es que, comparando modelos, los cuerpos se ven afectados por las rotaciones, debido a 
que en los mismos consideramos las dimensiones. Es así que, si un cuerpo es sometido a una 
rotación, todos los puntos que lo conforman, a excepción de los que se encuentran sobre el eje, 
describirán trayectorias circulares en torno del eje de rotación, siempre que el mismo no se 
deforme (condición de rigidez). 
Todos los puntos del sólido tendrán velocidades de traslación diferentes debido a que el mismo 
rota. Los únicos puntos que no se trasladan debido a la rotación son los contenidos en el eje de la 
misma. 
También es posible que dicho sólido no rote y solo se traslade. En éste caso, todos los puntos que 
lo conforman tiene la misma velocidad de traslación y describen trayectorias paralelas (en 
muchos problemas de la práctica, cuando todos los puntos tienen la misma velocidad de 
traslación, el sólido puede ser reemplazado por un punto). 
Finalmente, el sólido puede rotar y trasladarse simultáneamente, de lo que se induce que el 
movimiento más general del sólido es la roto-traslación. 
 
 
P 
 
El brazo de palanca es nulo. El punto no se ve afectado 
por el vector rotación. 
La dimensión apreciable del punto en el gráfico, es al 
sólo efecto de mostrar la existencia del mismo. 
 
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Resumiendo: 
La rotación es una magnitud característica de los sólidos. 
Los cuerpos pueden rotar y se trasladarse. 
Su movimiento más general es la roto-traslación. 
 
Claro está, que como es muy complicado estudiar un movimiento compuesto, apelaremos al 
principio de superposición de efectos estudiando cada caso por separado, y el resultado final será 
la suma de los dos. 
Pero aún falta una hipótesis más sin la cual prácticamente es imposible trabajar: RIGIDEZ. Esta 
condición implica que el cuerpo no se deforma. 
Piense Ud., que difícilmente podría establecer alguna ley que le permita determinar la velocidad 
de todos los puntos de un sólido, si el mismo se deformara. 
Trabajaremos asumiendo esta condición, y cuando pasemos a la realidad, dimensionaremos la 
pieza tratando de acercarnos lo más que podamos a esta hipótesis. 
 
 
Para el movimiento más general del sólido, roto-traslación, el vector velocidad será la suma de 
los efectos debido a cada una de ellas, es decir: 
 
  PPP vvv  
 
Donde Pv es la componente debida a la traslación y Pv la debida a la rotación. 
Si para el cálculo de la componente de rotación tomamos de referencia un punto “B” de su eje de 
rotación, del cual conocemos su velocidad de traslación Bv , su expresión será: 
 
)( BPvP  
 
 
Sumando las componentes debidas a la rotación y la traslación, queda: 
 
B 
P 
P
v 
 
Bv

 
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)( BPBP vv   (1) 
 
Esta expresión nos permite calcular la velocidad de traslación de cualquier punto del cuerpo. 
Sólo basta reemplazar la coordenada del mismo y hacer el correspondiente cálculo. Por tal 
motivo, recibe el nombre de ESTADO DE VELOCIDADES. 
Observe que para poder determinar la expresión del Estado de Velocidades de un cuerpo, es 
necesario conocer la velocidad de traslación de un punto cualquiera del eje de rotación y la 
velocidad de angular del mismo. 
 
Supongamos ahora que queremos determinar la velocidad de traslación del punto A del mismo 
cuerpo: 
 
 
 
Determinamos el vector posición )( BA  y reemplazamos en la expresión del Estado de 
Velocidades 
 
(2) 
 
Para obtener entonces la velocidad de traslación de cualquier punto del sólido sólo es necesario 
determinar y reemplazar el vector posición )( BA  en la expresión del estado de velocidades y 
realizar los cálculos correspondientes. 
 
Sigamos ahora profundizando en el modelo. Restemos miembro a miembro las expresiones (1) y 
(2), y veamos que obtenemos de la misma: 
 
)()(
)(
)(
BABP
BA
BP
AP
BA
BP
vv
vv
vv










 
B 
 
 
Bv

 
 A 
)( BABA vv  
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Operando sobre el segundo miembro 
 
  )()()( APBABPAP vv   
 
 
Reordenando 
 
 
)( APAP vv   (3) 
 
Observando la expresión (3), vemos que tiene el mismo formato que la (1), es decir, representa el 
estado de velocidades del cuerpo, sólo que en este caso la componente de la velocidad debido a 
la traslación del cuerpo viene dada por Av . Vale decir, que ésta nueva expresión supone que el 
eje de rotación del cuerpo pasa por el punto A, el cual se traslada con velocidad Av . Dicho de 
otra manera, éste nuevo esquema representa un estado equivalente, desde el punto de vista 
cinemático, al presentado originalmente. 
 
 
 
 
 
 
Como el punto A fue elegido en forma arbitraria, existen entonces infinitos estados cinemáticos 
equivalentes. 
 
Sigamos analizando: 
 
En la configuración de los estados equivalentes desde el punto de vista cinemático, cambiará la 
componente de la velocidad debida a la traslación del cuerpo ( Bv

, Av

, etc.), pero no lo hará el 
vector que caracteriza a la rotación del mismo. De ésta última consideración se llega a la 
conclusión de que el vector rotación es un invariante (llamado “primer invariante vectorial”). 
B 
 
 
Bv

 
 A 
 
 
Av

 
A 
 
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Resumiendo, todos los pasos en el armado del modelo 
1) El movimiento más general de un cuerpo es la roto traslación 
2) Para poder predecir resultados de las magnitudes cinemáticas de un cuerpo hace falta suponer 
al mismo rígido, indeformable (Hipótesis de rigidez). 
3) Para obtener las magnitudes cinemáticas superponemos los efectos que producen sobre las 
mismas la rotación y la traslación del cuerpo (Principio de superposición). 
4) De la superposición de efectos surge una expresión de cálculo para la determinación de la 
velocidadde cualquier punto de un cuerpo (Estado de Velocidades) 
5) Para un mismo cuerpo existen infinitos estados de velocidades equivalentes en sus efectos 
desde el punto de vista cinemático. 
6) Los distintos estados de velocidades de un mismo cuerpo equivalentes en sus efectos desde el 
punto de vista cinemático, sólo difieren en la componente de la velocidad debido a la 
traslación del cuerpo. 
 El vector velocidad angular no cambia, es un invariante vectorial. 
 
 
Para dar continuidad al desarrollo del modelo interpretaremos a continuación otra abstracción 
sumamente necesaria. Supongamos para ello que al cuerpo de la figura de análisis le aplicamos 
dos vectores rotación, iguales en modulo y dirección, pero de sentidos contrarios, es decir 
21 

 . Los puntos A y B pertenecen a las rectas de acción de los vectores rotación indicados. 
Nos proponemos determinar la velocidad de traslación de un punto genérico P. Calcularemos 
dicha velocidad por el principio de superposición de efectos 
 
 
 
)()( 2121 BPAPPPPP vvvv   
 
Como 21 

 , reemplazando en la anterior 
 
)()( 11 BPAPPv   
 
1

 
A 
2

 
B 
p 
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Sacando factor común 1

 
 
 )()(1 BPAPPv  
 
 ABPv  1 (4) 
 
En esta expresión podemos apreciar que el resultado obtenido no depende del punto elegido, es 
decir que todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad, y por lo tanto inferimos que un 
sólido sometido a una cupla de vectores rotación es equivalente en sus efectos a una traslación 
del mismo. 
Bien, entonces podemos reemplazar esa cupla formada por los vectores rotación por una 
traslación, cuyo valor viene dado por la (4). 
La dirección del vector velocidad de traslación es perpendicular al plano formado por la cupla y 
su sentido surge de la aplicación de la regla de la mano derecha (entrante para este caso). 
 
Volvamos ahora al ejemplo original, para continuar con el modelo 
 
 
B 
 
Bv

 
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Veamos que tipo de trayectorias describen los puntos en este estado equivalente: 
 
El punto “B” debido a la rotación describirá una trayectoria circular, y debido a la traslación, 
experimentará desplazamientos en la dirección de  . La suma de esos dos movimientos da por 
resultado una trayectoria helicoidal. 
 
B 
 


 

- 
Los vectores rotación que se encuentran 
sobre la misma recta se cancelan, quedando 
el vector rotación desplazado. 
Por lo tanto, en su estado equivalente, el 
cuerpo queda sometido a la acción de un 
vector velocidad angular desplazado de su 
posición inicial, y una traslación que tiene la 
misma dirección que dicho vector. 
Conclusión: 
Todo movimiento roto traslatorio puede 
reducirse a este estado equivalente, el cual 
queda caracterizado por el vector velocidad 
angular y el vector velocidad de traslación 
v , cuya dirección coincide con la del 
vector  . 
v 
B 
 
Bv

 
Descomponemos el vector velocidad de 
traslación correspondiente al punto B en dos 
direcciones, una de ellas coincidente con la 
dirección del vector velocidad angular y otra 
perpendicular al mismo. 
Reemplacemos la componente perpendicular 
del vector velocidad de traslación por una 
cupla de vectores rotación, de igual dirección 
que la dato, que sea equivalente en sus efectos 
a dicha velocidad de traslación. 
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Sigamos con el desarrollo del modelo: 
 
Para llegar al estado equivalente es necesario determinar v . Su valor lo obtenemos en forma 
analítica teniendo presente que es la proyección del vector Bv sobre la dirección de  . La 
herramienta de cálculo que utilizaremos es el producto escalar entre vectores. Operando: 
 
 cos... BB vv  
 
en el cual  vvB cos. 
 
por lo tanto 



.Bvv  
 
 
 
Teniendo presente que v tiene la dirección del vector  , podemos expresarlo con su 
característica direccional como sigue 
 


 .vv   
ovv  . 
 
 
Continuando con el modelo: 
 
Habíamos llegado a la conclusión de que existían infinitos estados equivalentes, desde el punto 
de vista cinemático para un mismo cuerpo, y por lo tanto podríamos suponer que queremos 
B 


 
v 
Se muestra en rojo un pequeño tramo de 
la trayectoria, delimitando la misma por 
una superficie cilíndrica para su mejor 
interpretación. 
Este estado equivalente recibe el nombre 
de “Movimiento Helicoidal Tangente 
Equivalente” (MHTE). 
Las características del mismo vienen 
dadas por  y v . 
Todo movimiento experimentado por un 
cuerpo puede ser representado por este 
movimiento equivalente. 
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determinar v para otro centro de reducción. Para ello es necesario que hagamos el producto 
escalar del vector velocidad de traslación elegido por el vector  . 
La velocidad de traslación del punto elegido la determinamos a través de la expresión del estado 
de velocidades de referencia: 
 
)( BPBP vv   , siendo Pv la velocidad del nuevo punto elegido 
 
Ahora hagamos el producto escalar con la intensión de determinar el nuevo v . Como la 
expresión es genérica, multiplicaremos ambos miembros de la expresión anterior por  
 
   .)(. BP
B
vvP  
 
desarrollando el segundo miembro 
 
    ... BPv
B
vP  
 
como   BP  da por resultado un vector perpendicular a  y a  BP  , entonces el 
producto escalar     .BP  es nulo. Por lo tanto, el resultado final de la operación es 
 
 ..
B
vvP  
 
El resultado obtenido nos dice que cualquiera sea el punto elegido del cuerpo, el valor de v será 
mismo. Es decir, que v es un invariante. 
 
De éste mismo resultado, se infiere que la velocidad v es el mínimo valor que puede tomar la 
velocidad de traslación de los puntos del cuerpo. Para llegar a esta conclusión solo basta con 
recordar, que las componentes ortogonales de cualquier vector son menores en módulo que su 
resultante. 
 
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Continuando con el modelo: descubrimos que todo movimiento puede ser representado por uno 
equivalente consistente en una rotación acompañada de una traslación en la dirección de la 
misma denominado MHTE. Vimos como se determinan estos vectores característicos de éste 
movimiento equivalente, es decir  y v , solo resta determinar la nueva ubicación del eje de 
rotación (eje central), calculo que desarrollamos a continuación: 
 
Suponemos conocidos la velocidad de traslación Bv

 de un punto del eje de rotación y el 
correspondiente vector velocidad angular  . Con estos datos construimos la expresión del 
estado de velocidades: 
 
 )( BPBP vv   
 
De los infinitos puntos que forman el eje central, elegiremos uno que se encuentra sobre la 
perpendicular a  pasante por el punto B. A este punto lo denominaremos EB. Reemplazando 
en la expresión del estado de velocidades: 
 
 )( BEBBE vv B   
 
La velocidad de este punto del eje central no es otra que v y por lo tanto coincide con la 
dirección de . 
 
Multiplicando ambos miembros de la expresión por  
 
      )( BEv BBEBv 
B 
 
Bv

 
BB vvyvv

  
La componente perpendicular será reemplazada 
por dos vectores rotación, de igual modulo ydirección que el vector  . 
La composición del vector  con la cupla que 
reemplaza a v

 nos conduce a una nueva 
posición del vector velocidad angular. 
La componente según la dirección de  , se 
convierte en la velocidad que tienen todos los 
puntos debido a la traslación del sólido. 
En este estado equivalente, los únicos puntos 
que no se encuentran afectados por la rotación 
del sólido son los del eje de rotación en su 
posición trasladada. Este eje se denomina “eje 
central”. Todos los puntos del mismo se ven 
afectados únicamente por v

. Siendo v

 
mínimo, el eje central es el lugar geométrico de 
los puntos de velocidad mínima. 
v

 
v

 
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     )(0 BEv BB 
 
     )(0 BEv BB 
 
 )(.0 2 BEv BB   
 
 
Despejando 
 
     BB vBE )(.
2 
 
 BB vBE    )(
2 
 
 
 
2
)(

 B
B
v
BE

  
 
Ésta expresión nos permite determinar un punto del eje central. La coordenada vectorial del 
mismo está referida al punto B. 
Si quisiéramos determinar otro punto del eje, sería necesario conocer la velocidad de traslación 
de otro punto del sólido. 
Teniendo presente que el eje central tiene la dirección del eje de rotación, con la determinación 
de un punto del mismo y la dirección mencionada es suficiente para encontrar la expresión que 
lo define. 
Si el movimiento fuera plano la traza del eje central se reduce a un punto denominado centro 
instantáneo de rotación que habitualmente indicamos con la sigla CIR (tema visto Física I). 
La expresión de cálculo es debida al aporte de Chassles Euler. 
 
 
 
Cálculo de la aceleración 
 
Tomamos la expresión del estado de velocidades 
 
)( BPBP vv   
 
Derivamos la misma teniendo presente que la aceleración de un punto del cuerpo resulta de la 
superposición de los efectos de traslación y rotación 
 
 
dt
BPd
dtdt
vd
BP
p
vd
a
)( 


 
 
 
dt
BPd
BP
dt
d
Bp aa
)(
)(

 

 
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 )()( BPBPBp aa   
 
Ordenando 
 
 
  )()( BPBPBp aa    Estado de aceleraciones 
 
 
La expresión determinada nos permite calcular la aceleración de cualquier punto del cuerpo. Para 
su construcción es necesario conocer tres parámetros: Ba ,  y  . 
A su vez, para la construcción del estado de velocidades, se requerían dos parámetros: Bv y  . 
De los requerimientos de ambos estados, surge que para la construcción de ambos, son 
necesarios cuatro parámetros: Bv , Ba ,  y  . Estos cuatro parámetros conforman el estado de 
movimiento. 
 
E.M. 





?ε;?ω
?;?vB Ba
 
 
Hagamos un breve resumen de lo aprendido hasta ahora: 
 
 Existen infinitos estados de movimiento equivalentes desde el punto de vista cinemático. 
 El estado de movimiento de un sólido queda perfectamente determinado si conocemos la 
velocidad y aceleración de traslación de un punto cualquiera del mismo (características 
traslatorias), y su velocidad y aceleración de rotación (características rotacionales). 
 Los estados de velocidades y aceleraciones se manifiestan en función del estado de 
movimiento, teniendo presentes los cuatro parámetros característicos. 
 El vector velocidad angular  es un invariante vectorial. 
 El vector velocidad angular  es igual a la suma de todos los vectores velocidad angular 
que afectan al cuerpo. 
 Entre los infinitos estados de movimiento equivalentes en sus efectos desde el punto de 
vista cinemático existe uno particular que reduce el movimiento a una rotación, 
acompañada de una traslación de dirección coincidente con la del vector  . Dadas las 
características de la trayectoria descripta por un punto cualquiera del sólido, excluidos los 
pertenecientes al eje, este movimiento recibe el nombre de movimiento helicoidal 
tangente equivalente (MHTE). 
 La proyección del vector velocidad de traslación de cualquier punto del sólido sobre la 
dirección de  es un invariante. 
 El eje central es el lugar geométrico de los puntos de velocidad mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO Nº 1 
 
 
Vamos a resolver el problema utilizando una terna fija, la que configuramos de la 
siguiente manera: 
 
Origen “O” coincidente con el punto A. 
Eje “X” según la dirección AC y dirigido hacia C. 
Eje “Y” perpendicular al anterior y dirigido hacia arriba 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reconocemos en éste mecanismo dos cuerpos, la manivela AB y las bielas BC, 
vinculadas entre sí mediante la articulación B. 
Siempre operaremos de manera metodológica realizando cálculos desde el cuerpo más 
interno, en este caso la manivela AB. 
 
Estado de movimiento de la barra AB 
 
E.M. BARRA AB 






0ε;kωω
0;0v
ABAB
A

Aa
 
 
NOTA: La determinación del estado de movimiento requiere del conocimiento o cálculo 
de la velocidad y aceleración de traslación de un punto cualquiera del sólido. El punto A 
es fijo y por lo tanto el conocimiento de las magnitudes citadas es inmediato. 
 
Conocido el estado de movimiento, podemos plantear el estado de velocidades y 
estado aceleraciones del cuerpo AB. 
 
La expresión general del estado de velocidades tomando como centro de reducción el 
punto A es: 
A 
B 
C 
 
 φ φ 
 
ω 
DATOS 
 
AB = BC = L 
ω = constante 
 
CONDICIONES DE BORDE 
 
t0 = 0; A, B y C alineados 
sobre la horizontal AC 
O≡A 
B 
C 
 
 φ φ 
 
ω 
y 
x 
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 A-Pωvv ABAP  
 
Remplazando en la misma por los valores obtenidos en el estado de movimiento 
queda: 
 
 A-PkωvP 

 Estado de velocidades de la barra AB 
 
La expresión general del estado de aceleraciones tomando como centro de reducción 
el punto A es: 
 
    A-PεA-Pωω ABABABAP  aa 
 
Remplazando en la misma por los valores obtenidos en el estado de movimiento 
queda: 
 
  A-PkωkωP 

a Estado de aceleraciones de la barra AB 
 
Una vez determinados los estados de velocidades y aceleraciones de la barra AB, 
podemos calcular la velocidad y aceleración de cualquier punto de la misma. 
 
Estado de movimiento de la barra BC 
 
La determinación del estado de movimiento de la barra BC, requiere del conocimiento 
de la velocidad y aceleración de traslación de un punto cualquiera de la misma. De 
todos los posibles puntos, el B será el seleccionado, ya que pertenece tanto a la barra 
AB como a la BC, y su velocidad y aceleración pueden ser calculados a partir de las 
expresiones de los estados de velocidad y aceleración de la barra AB. 
 
Cálculo de Bv 
 
 A-BkωvB 

 
 
      jωtsLiωtcosLA-B

en 
 
         jωtcosωLiωtsωLjωtsLiωtcosLkωvB

 enen 
 
    jωtcosωLiωtsωLvB

 en 
 
Cálculo de Ba 
 
  A-BkωkωB 

a 
 
     jωtsLiωtcosLkωkωB

ena  
 
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    jωtsLωiωtcosLω 22B

ena  
 
 
E.M. de BC
       






0ε;kωω
jωtsLωiωtcosLω;jωtcosωLiωtsωLv
BCBC
22
BB


enaen
 
 
Estado de velocidades de la barra BC 
 
 B-Pkωvv BP 

 
 
Remplazando en la misma por los valores obtenidos en el estado de movimiento 
queda: 
 
      B-PkωjωtcosωLiωtsωLvP 

en Estadode velocidades de BC 
 
Estado de aceleraciones de la barra BC 
 
    B-PεB-Pωω BCBCBCBP  aa 
 
Remplazando en la misma por los valores obtenidos en el estado de movimiento 
queda: 
 Estado de aceleraciones 
       B-PkωkωjωtsLωiωtcosLω 22P 

ena de la barra BC 
 
 
 
 
EJERCICIO Nº 2 
 
Resolver el ejercicio nº 1 utilizando la terna móvil que se define a continuación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las magnitudes a determinar son absolutas. Proyectaremos estas magnitudes sobre la 
terna móvil. 
O1≡A 
B 
C 
 
 φ φ 
 
ω 
y 
x 
1i

 
y1 
Terna móvil 
O1≡A 
1i

Solidario a la barra AB y sentido de A 
hacia B 
1j

En el plano del conjunto de barras y 
sentido según avance del 
movimiento 
1j

 
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La terna móvil es en sí un sólido rígido y por lo tanto debemos establecer su estado de 
movimiento. 
 
E.M.T.M






0ε;kωω
0;0v
TMTM 1
O1O1

a
 
 
Ahora desarrollaremos el problema según la metodología explicada en el ejercicio 
anterior, pero proyectando las magnitudes sobre la terna móvil. 
 
E.M. barra AB 






0ε;kωω
0;0v
AB1AB
A

Aa 
 
Estado de velocidades de la barra AB 
 
 
 A-Pωvv ABAP    A-Pkωv 1P 

 
 
Estado de aceleraciones de la barra AB 
 
    A-PεA-Pωω ABABABAP  aa    A-Pkωkω 11P 

a 
 
Estado de movimiento de la barra BC 
 
E.M. de BC






0ε;kωω
?;?v
BCBC
BB

a
 
 
Ya habíamos justificado el motivo por el cual reducíamos las magnitudes al punto B. 
Obtenemos la velocidad y aceleración de B a partir del estado de velocidades y 
aceleraciones de la barra AB. 
 
Cálculo de Bv 
 
Estado de velocidades de la barra AB  A-Pkωv 1P 

 
Para el punto B  A-Bkωv 1B 

 
Donde   1iLA-B

 (proyectado en las coordenadas de la móvil) 
 
11B iLkωv

  1B jLωv

 
 
Cálculo de Ba 
 
Estado de aceleraciones de la barra AB   A-Pkωkω 11P 

a 
 
Para el punto B   A-Bkωkω 11B 

a   111B iLkωkω

a  1
2
B iLωa 
 
Finalmente, el estado de movimiento de la barra BC queda 
 
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(17) 
 
E.M. de BC






0ε;kωω
jLω;jLωv
BCBC
1
2
B1B


a
 
 
 
 
EJERCICIO Nº 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El mecanismo se compone de dos cuerpos: la barra AB y la BC. 
La barra AB describe un movimiento rotacional rotatorio (solo rota) con polo en el punto 
A (centro instantáneo de rotación: CIR). 
La barra BC describe un movimiento rototraslatorio (rota y se traslada). 
 
Cálculo del estado de movimiento de la barra AB 
 
Recordemos que para establecer el estado de movimiento necesitamos determinar o 
conocer la velocidad y aceleración de traslación de un punto cualquiera de la barra y 
sus características rotacionales (velocidad y aceleración angular). 
De todos los puntos posibles a elegir para el cálculo de las características 
traslacionales, el punto A, por ser un punto fijo, aporta los valores requeridos sin cálculo 
alguno. 
En cuanto a las características rotacionales, es sólo cuestión de visualizar que 
rotaciones afectan al cuerpo en cuestión. Como puede visualizarse en el gráfico, la 
barra AB rota un ángulo 1 asociado a la velocidad angular 1 que en este caso es de 
valor constante en módulo y dirección. 
 
Resumiendo: 
 
E.M. barra AB 






0ε;kωω
0;0v
AB11AB
A

Aa 
 
Conocidas las características del estado de movimiento reducidas al punto A, 
procedemos a establecer los estados de velocidades y aceleraciones. 
 
1

 
C 
2

 
C 
A 
B 
C 
X 
Y 
ω2= cte. 
ω1= cte. 
L1 
L2 
Condiciones de borde: 
 
0;0;0 )0(2)0(10  t
 
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(18) 
 
Estado de velocidades de la barra AB 
 
 A-Pωvv ABAP    A-Pkωv 11P 

 (1) 
 
Estado de aceleraciones de la barra AB 
 
    A-PεA-Pωω ABABABAP  aa    A-Pkωkω 1111P 

a (2) 
 
 
Cálculo del estado de movimiento de la barra BC 
 
De todos los posibles puntos que podemos elegir como centro de reducción, el punto B 
es el seleccionado en este caso, porque es común a ambos cuerpos y contamos con 
los estados de velocidades y aceleraciones de la barra AB que nos permite su cálculo. 
 
Cálculo de Bv 
 
 A-Bkωv 1B 

 
 
      jtωsLitωcosLA-B 11

en 
 
         jtωcosLωitωsLωjtωsLitωcosLkωv 1111111B

 enen 
 
 
    jtωcosLωitωsLωv 1111B

 en 
 
Cálculo de Ba 
 
  A-Bkωkω 11B 

a 
 
     jtωsLitωcosLkωkω 1111B

ena  
 
    jtωsLωitωcosLω 1
2
11
2
1B

ena  
 
En cuanto a las características rotacionales, observamos, que la barra BC rota un 
ángulo 2 respecto asociado a la velocidad angular 2ω , de valor constante. 
 
E.M. de BC
       






0ε;kωω
jtωsLωitωcosLω;jtωcosLωitωsLωv
BC2BC
1
2
11
2
1B1111B


enaen
 
 
Conocido el estado de movimiento podemos establecer los estados de velocidades y 
aceleraciones de la barra BC. 
 
Estado de velocidades de la barra BC 
 
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(19) 
 
 B-Pωvv BCBP         B-PωjtωcosLωitωsLωv 21111P 

en 
 
Estado de aceleraciones de la barra BC 
 
    B-PεB-Pωω BCBCBCBP  aa 
 
       B-PkωkωjtωsLωitωcosLω 22121121P 

ena 
 
 
EJERCICIO Nº 4 
 
Proponemos ahora la resolución del ejercicio anterior utilizando una terna móvil, cuya 
configuración definimos a continuación: 
 
Terna móvil 
 
 O1 ≡ A 
 1i

Solidario a la barra AB y sentido de A hacia B 
1j

 En el plano del conjunto de barras y sentido según avance del movimiento 
 
Dibujamos a continuación la terna seleccionada y determinamos el estado del 
movimiento de la misma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reitero: 
Estamos determinando magnitudes absolutas (no relativas). 
Proyectamos magnitudes absolutas sobre la terna móvil. 
La terna móvil nos facilita la manifestación matemática de las magnitudes 
absolutas que pretendemos determinar. 
 
Estado de movimiento de la barra AB 
 






0;
0;0
AB barra la E.M.de
AB11AB  k
av AA
 
 
1
 
C 
2

 
C 
 O1 ≡ A 
B 
C 
X 
Y 
L1 
L2 
 1j

 
 1i

 






0;
0;0
E.M.T.M.
TM11TM
11
 k
av OO
 
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(20) 
 
Estado de velocidades de la barra AB 
 
 A-Pωvv ABAP    A-Pkωv 11P 

 
 
 
Estado de aceleraciones de la barra AB 
 
 
    A-PεA-Pωω ABABABAP  aa    A-Pkωkω 1111P 

a 
 
 
Estado de movimiento de la barra BC 
 
Reitero: de todos los posibles puntos que podemos elegir como centro de reducción 
con el objetivo de determinar su velocidad y aceleración de traslación, el punto B es el 
seleccionado en este caso, porque es común a ambos cuerpos y contamos con los 
estados de velocidades y aceleraciones de la barra AB que nos permiten su cálculo. 
 
Cálculo de Bv 
Reemplazando en la expresión del estado de velocidades de la barra AB por la 
coordenada del punto seleccionado, es decir: 
 
 A-Pkωv 11P 

   A-Bkωv 11B 

 
 
  11A-B iL

 (expresado enlas coordenadas de la móvil) 
 
1111B kωv iL

  111B ωv jL

 
 
Cálculo de Ba 
Reemplazando en la expresión del estado de aceleraciones de la barra AB por la 
coordenada del punto seleccionado, es decir: 
 
  A-Pkωkω 1111P 

a    A-Bkωkω 1111B 

a   111111B iLkωkω

a 
 
11
2
1B iLω

a 
 
La determinación de las características rotacionales es sólo una cuestión de 
observación de los giros que afectan a la barra. En el gráfico podemos observar que la 
barra BC gira un ángulo 2 asociado con la velocidad angular 2ω . 
 






0ε;kωω
iLω;jLωv
BC12BC
11
2
1B111BBC barralaE.M.de 

a
 
 
Podemos ahora establecer el estado de velocidades y aceleraciones de la barra BC 
 
 
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(21) 
 
Estado de velocidades de la barra BC 
 
 
 B-Pωvv BCBP    B-PkωjLωv 12111P 

 
 
Estado de aceleraciones de la barra BC 
 
    B-PεB-Pωω BCBCBCBP  aa      B-PεB-Pωω BCBCBCBP  aa 
 
 
  B-PkωkωiLω 12121121P 

a 
 
 
CONTINUAMOS RESOLVIENDO EJERCICIOS EN CLASE