Momentos de 1 y 2 orden - REV02

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INGENIERÍA MECÁNICA 
Estabilidad I 
 
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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES 
TRANSVERSALES 
 
Autor: Ing. José Napoleone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía sugerida: 
 
- Estática – MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS – Beer Johnston 
 
- Estabilidad I – Enrique Fliess 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edición y compilación: Ing. Mauricio Rossi 
Revisión 2022-V02 
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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES 
 
1.0. MOMENTOS DE PRIMER ORDEN: MOMENTO ESTÁTICO (𝑺). 
 
Momento estático o de 1er orden de la masa 𝑚𝑖 respecto del plano 𝑦𝑧: 
 
𝑆𝑖
𝑦𝑧
= 𝑚𝑖. 𝑥𝑖 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑖
𝑦𝑧
: momento estático de la masa 𝑚𝑖 respecto al plano 𝑦𝑧 
 
Respecto a los demás planos, queda: 
 
𝑆𝑖
𝑧𝑥 = 𝑚𝑖. 𝑦𝑖 
 
𝑆𝑖
𝑥𝑦
= 𝑚𝑖. 𝑧𝑖 
 
CENTRO DE MASAS DEL CONJUNTO DISCRETO DE MASAS. 
 
El centro de masas del conjunto discreto de materiales (o masas 𝑚𝑖) es un punto 
material “G” cuya masa es igual a la suma de las masas que corresponden al 
sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos 
coordenados, es igual a la suma de los momentos estáticos respecto de dichos 
planos de las masas. 
 
𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 
 
 
 
 
 
 
Componentes del sistema: la posición del centro de masas (𝐺) de un conjunto 
discreto serán las coordenadas: (𝑋𝐺 , 𝑌𝐺 , 𝑍𝐺). 
 
 
𝑀. 𝑋𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 . 𝑥𝑖 ⟹ 𝑋𝐺 =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑥𝑖
∑ 𝑚𝑖
 
 
𝑀. 𝑌𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 . 𝑦𝑖 ⟹ 𝑌𝐺 =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑦𝑖
∑ 𝑚𝑖
 
 
𝑀. 𝑍𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 . 𝑧𝑖 ⟹ 𝑍𝐺 =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑧𝑖
∑ 𝑚𝑖
 
𝑍𝐺 
Producto de la masa 𝑚𝑖 
por la distancia 𝑥𝑖 al 
plano 𝑦𝑧 
Z 
Y 
X 
𝑚𝑖 Punto 
material 
𝑥𝑖 
𝑧𝑖 
𝑦𝑖 
𝑋𝐺 
Existe un conjunto discreto de masas 
cuando hay varios puntos. 
𝐺: CENTRO DE MASA 
El concepto de centro de masa es 
INDEPENDIENTE de la naturaleza de 
las masas. 
Las masas son magnitudes ESCALARES 
y el conjunto de masas puede 
extenderse a cualquier escalar. 
Z 
Y 
X 
𝐺 𝑚1 
𝑚2 
𝑚3 𝑚𝑖 
𝑌𝐺 
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La suma de los momentos estáticos de un conjunto discreto de masas espaciales 
respecto de un plano cualquiera que pase por el correspondiente centro de 
masas es nula. 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑥𝑖 = 0 
 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑦𝑖 = 0 
 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑧𝑖 = 0 
 
Si todas las masas son coplanares estando los puntos sobre el plano zy por ser 
nulos todas las coordenadas 𝑥𝑖, se anulan los términos que lo contengan 
resultando como expresiones que definen este caso el centro de masas: 
 
𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 
 
𝑀. 𝑍𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 . 𝑧𝑖 
 
𝑀. 𝑌𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 . 𝑦𝑖 
 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑥𝑖 = 0 
 
La suma de los momentos estáticos de un conjunto plano respecto de un eje 
cualquiera que pasa por su centro es NULO. 
 
Conocida la posición del centro de masas, si los ejes con respecto a los cuales 
tomamos momentos estáticos pasan por dicho centro de momento. Las 
distancias 𝑍𝐺 y 𝑌𝐺 serán iguales a cero, por lo que se anularán las expresiones: 
 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑦𝑖 = 0 
 
∑ 𝑚𝑖 . 𝑧𝑖 = 0 
 
Es decir: 
La suma de los momentos estáticos de un conjunto plano discreto de masas 
respecto de un eje cualquiera que pase por el centro de masas es NULO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los productos (𝑚𝑖. 𝑦𝑖) y (𝑚𝑖. 𝑧𝑖) se 
definen: MOMENTOS ESTÁTICOS 
RESPECTO DE LOS EJES Y y Z 
Z 
Y 
X 
𝐺 
𝑚𝑖 
𝑚1 
𝑚2 
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CUERPOS: CONJUNTOS CONTINUOS DE MASAS. 
Un cuerpo es un conjunto continuo de masas elementales distribuidas en todo el 
volumen del mismo. 
Los puntos materiales 𝐴𝑖 se transforman en elementos diferenciales distribuidos en 
todo el volumen. 
Si las masas poseen densidad (𝛾) variable en cada punto, la masa aplicada será: 
 
𝑑𝑚𝑧 = 𝛾. 𝑑𝑉 
 
La masa total será: 
 
𝑀 = ∫ 𝑑𝑚
𝑉
= ∫ 𝛾. 𝑑𝑉
𝑉
 
 
 
 
𝑋𝐺 =
∫ 𝑥. 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
 
 
𝑌𝐺 =
∫ 𝑦. 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
 
 
𝑍𝐺 =
∫ 𝑧. 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝛾. 𝑑𝑉𝑉
 
 
 
Si 𝛾: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, entonces el centro de volumen coincide con el centro de masa. 
 
GRAVEDAD. 
Considerando los pesos de cada uno de los elementos dm, tendremos un sistema 
de fuerzas paralelas: 𝑑𝑝 = 𝑔. 𝑑𝑚 que constituyen el peso del cuerpo que pasará 
por el centro de gravedad. 
 
𝑔: Aceleración de la gravedad 
 
Diferencia de concepto: 
 
Centro de gravedad: referido a 
volúmenes. 
 
 
Baricentro: referido a superficies y 
líneas. 
 
Coordenadas del centro de volumen 
Z 
Y 
X 
𝑑𝑚𝑧 
𝐺 
𝑂 
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BARICENTRO – SUPERFICIES Y LÍNEAS. 
Si la figura o línea plana posee un eje de simetría, su baricentro pertenece al 
mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el caso de la figura, el sistema se compone de infinitas fuerzas de intensidad 
𝑑𝐹 (superficie elemental). A cada elemento de superficie 𝑑𝐹 ubicado al nivel 𝑦 y 
a una distancia 𝑧 del eje de simetría, corresponde otro ubicado al mismo nivel y 
distancia que el anterior, pero en el 2° cuadrante. 
 
El centro de masas de esta figura pasa por el eje de simetría y el baricentro 
siempre se encuentra sobre el eje de simetría. 
 
 
𝑌𝐺 =
∫ 𝑦. 𝑑𝐹𝐹
∫ 𝑑𝐹𝐹
 
 
𝑍𝐺 =
∫ 𝑧. 𝑑𝐹𝐹
∫ 𝑑𝐹𝐹
 
 
 
 
𝑌𝐺 =
∫ 𝑦. 𝑑𝑙𝑙
∫ 𝑑𝑙𝑙
 
 
𝑍𝐺 =
∫ 𝑧. 𝑑𝑙𝑙
∫ 𝑑𝑙𝑙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas del BARICENTRO 
de una LÍNEA. 
Coordenadas del BARICENTRO 
de una SUPERFICIE. 
Z 
Y 
𝑦𝐺 
𝑦 
𝑑𝐹 
𝐺 𝑧𝐺 
𝑧 
Z 
Y 
𝑦𝐺 
𝑑𝑙 
𝐺 𝑧𝐺 
Eje de simetría. 
Z 
Y 
𝑂 
𝑦 𝑧 −𝑧 
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Ejemplo: 
Dada la siguiente superficie, determinar la coordenada del baricentro 𝑌𝐺 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.0. MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN DE SUPERFICIES. 
 
- Momento centrífugo de una superficie (𝐽𝑖𝑗) 
- Momento de inercia de una superficie (𝐽𝑖) 
- Momento de inercia polar (𝐽𝑝) 
 
A continuación, se darán las definiciones de cada uno de ellos. 
 
2.1. Momento Centrífugo 
 
Sea una superficie genérica, el momento centrífugo de la superficie respecto de 
los ejes coordenados se define de la siguiente manera: 
 
𝑑𝐽𝑧𝑦 = 𝑑𝐹 . 𝑦. 𝑧 
 
 𝐽𝑧𝑦 = ∫ 𝑦 𝑧 𝑑𝐹
𝐹
 , [𝑐𝑚][𝑐𝑚][𝑐𝑚2] = [𝑐𝑚4] 
 
 
 
 
Su valor puede adoptar signo (+), (-) o ser nulo. Va a depender de la ubicación 
de la terna de referencia respecto al baricentro de la sección analizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
𝐽𝑧𝑦 = 0 
𝑧 
𝑦 ≡ 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 
Z 
Y 
𝑦 
𝑑𝐹 
𝑧 
𝑌𝐺 =
∫ 𝑦. 𝑑𝐹𝐹
∫ 𝑑𝐹𝐹
=
∫ 𝑦. 𝑏. 𝑑𝑦𝐹
∫ 𝑏. 𝑑𝑦𝐹
=
∫ 𝑦. 𝑏. 𝑑𝑦
ℎ
0
∫ 𝑏. 𝑑𝑦
ℎ
0
=
𝑏ℎ²
2⁄
𝑏ℎ
 
 
𝑌𝐺 =
ℎ
2
 
 
Z 
Y 
𝐽𝑧𝑦 < 0 
𝑧 
ℎ/2 
Z 
Y 
ℎ 
𝑦 𝑑𝐹 
𝑏 
𝑑𝑦 
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2.2. Momento de inercia de la superficie respecto a un eje de su plano. 
 
 
𝑑𝐽𝑧 = 𝑑𝐹 . 𝑦
2 
 
 𝐽𝑧 = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐹
𝐹
 [𝑐𝑚²][𝑐𝑚2] = [𝑐𝑚4] 
 
 
Su valor sólo puede adoptar valores (+). ¿Por qué? Porque tenemos un producto 
entre una distancia elevada al cuadrado (siempre será un resultado positivo) y un 
área (por definición, un área siempre es positiva). 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. Momento de Inercia Polar O respecto a un punto. 
 
 
𝑑𝐽𝑃 = 𝑑𝐹 . 𝜌
2 
 
𝐽𝑃 = ∫ 𝜌
2 𝑑𝐹
𝐹
 [𝑐𝑚4] 
 
 
Además, podemos plantear: 
𝜌2 = 𝑧2 + 𝑦2 
𝐽𝑃 = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑧2 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑃 = 𝐽𝑧 + 𝐽𝑦 
 
2.4. Radio de Giro 
 
Es el cociente entre el 𝐽𝑧 y el área de la sección considerada. 
 
𝑖2 =
𝐽𝑧
𝐹
 ⟹ 𝑖 = √
𝐽𝑧
𝐹
 [𝑐𝑚] 
Z 
Y 
𝑦 
𝑑𝐹 
𝑧 
Z 
Y 
𝜌 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑂 
Z 
Y 
ℎ 
𝑦 𝑑𝐹 
𝑏 
𝑑𝑦 𝐽𝑧= ∫ 𝑦
2 𝑑𝐹
𝐹
= ∫ 𝑦2𝑏. 𝑑𝑦
𝐹
= 𝑏 ∫ 𝑦2 𝑑𝐹
ℎ
0
=
𝑏ℎ3
3
 
𝐽𝑧 =
𝑏ℎ3
3
 
 
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3.0. MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN DE SUPERFICIE RESPECTO A EJES PARALELOS 
 
3.1. Caso 1: 𝑍𝐺 y 𝑌𝐺 conocidos 
 
Los ejes 𝑍𝐺 y 𝑌𝐺 son conocidos. Para determinar el momento de inercia respecto a 
𝑍 e 𝑌 (paralelos a 𝑍𝐺 𝑌𝐺) planteamos: 
 
 
𝐽𝑧𝑦 = ∫ 𝑦 𝑧 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝑍 = 𝑎 + 𝑍𝐺 
 
𝑌 = 𝑏 + 𝑌𝐺 
 
 
 
𝐽𝑧𝑦 = ∫ 𝑎 𝑏 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑎 𝑌𝐺 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑏 𝑍𝐺 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑍𝐺 𝑌𝐺 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧𝑦 = 𝑎 . 𝑏 . 𝐹 + 0 + 0 + 𝐽𝑍𝐺𝑌𝐺 
 
𝐽𝑧𝑦 = 𝐽𝑍𝐺𝑌𝐺 + 𝐹 . 𝑎. 𝑏 
 
3.2. Caso 2: eje 𝑍𝐺 conocido: 
 
𝐽𝑧 = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐹
𝐹
 
𝑦 = 𝑑 + 𝑌𝐺 ⟹ 𝐽𝑧 = ∫(𝑑 + 𝑌𝐺)
2
 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧 = ∫ 𝑌𝐺
2 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 2 𝑌𝐺 𝑑 𝑑𝐹
𝐹
∫ 𝑑2 𝑑𝐹
𝐹
= 
 
𝐽𝑧 = 𝐽𝑍𝐺 + 0 + 𝑑
2𝐹 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐽𝑧 = 𝐽𝑍𝐺 + 𝑑
2𝐹 
 
Momento de Inercia 
respecto a un eje 
cualquiera de su plano. 
Momento de Inercia 
respecto a un eje 
baricentro paralelo al 
anterior. 
Distancia que separa 
ambos ejes. 
Teorema de Steiner 
 
𝐺 
Z 
Y 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑧 
𝑎 
𝑏 
𝑍𝐺 
𝑌𝐺 
𝑍𝐺 
𝑌𝐺 
𝑌𝐺 
𝐺 
Z 
Y 
𝑑𝐹 
𝑦 𝑑 
𝑍𝐺 
𝑌𝐺 
𝑂 
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Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relación entre radio de giro y distancia 𝑑 
 
De la expresión: 
𝐽𝑧 = 𝐽𝑍𝐺 + 𝑑
2𝐹 
 
Dividimos ambos miembros por F: 
 
𝐽𝑧
𝐹
=
𝐽𝑍𝐺
𝐹
+ 𝑑2
𝐹
𝐹
 
 
𝑖𝑧
2 = 𝑖𝑍𝐺
2 + 𝑑2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. Momento de inercia de un eje genérico en función de un eje no 
baricéntrico. 
𝐽𝑧′ = ∫ 𝑦′
2 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧′ = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑑2 𝑑𝐹
𝐹
+ 2 ∫ 𝑦 𝑑 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧′ = 𝐽𝑧 + 𝑑
2𝐹 + 2 𝑑 𝑆𝐹
𝑧 
 
 
 
𝐺 
𝑍 
𝑍’ 
𝑑𝐹 
𝑑 
𝑦 𝑦′ ∫ 𝑦 𝑑𝐹 = 𝑆
𝑧 
𝐺 
𝑑 
𝑖𝑍𝐺 
𝑖𝑍 
𝑌𝐺 
Superficie 
Eje cualquiera 
del plano 
Radio de giro 
respecto de eje 
z es > d 
d: Distancia del eje 
al baricentro. 
𝑖𝑧 > 𝑑 
 
𝑍𝐺 
Z 
Y 
ℎ 
𝑑 𝐺 
𝑏 
𝑍𝐺 
𝐽𝑧 = 𝐽𝑍𝐺 + 𝑑
2𝐹 
 
𝑏ℎ3
3
= 𝐽𝑍𝐺 + (
ℎ
2
)
2
𝑏. ℎ 
 
𝑏ℎ3
3
− (
ℎ
2
)
2
𝑏. ℎ = 𝐽𝑍𝐺 
 
𝑏ℎ3
12
= 𝐽𝑍𝐺 
 
El 𝐽𝑧 es dato, fue calculado, para el rectángulo, en el 
apartado 2.2. 
 
 
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Dividimos ambos miembros por F: 
 
𝑖𝑧′
2 = 𝑖𝑧
2 + 𝑑2 + 2 𝑑
𝑆𝐹
𝑧
𝐹
 
 
𝑖𝑧′
2 = 𝑖𝑧
2 + 𝑑2 + 2 𝑑 𝑦𝐺 
 
 
3.4. Polo baricéntrico. 
 
 
𝐽𝑃 = 𝐽𝑦 + 𝐽𝑧 
 
𝐽𝑧′ = 𝐽𝑍𝐺 + 𝐹 𝑏
2 
 
𝐽𝑦′ = 𝐽𝑌𝐺 + 𝐹 𝑎
2 
 
(𝐽𝑧′ + 𝐽𝑦′) = (𝐽𝑍𝐺 + 𝐽𝑌𝐺 ) + 𝐹 (𝑎
2 + 𝑏2) 
 
𝐽𝑝′𝑜′ = 𝐽𝑝𝑜 + 𝐹 𝑑
2 
 
 
3.5. Polo NO baricentrico. 
 
𝐽𝑧′ = 𝐽𝑧 + 2 𝑎 𝑆𝑧 + 𝐹𝑎
2 
 
𝐽𝑦′ = 𝐽𝑦 + 2 𝑏 𝑆𝑦 + 𝐹𝑏
2 
 
(𝐽𝑧′ + 𝐽𝑦′) = (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) + 2 (𝑎 𝑆𝑧 + 𝑏 𝑆𝑦) + 𝐹 𝑑
2 
 
𝐽𝑝′𝑜′ = (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) + 2 (𝑎 𝑆𝑧 + 𝑏 𝑆𝑦) + 𝐹 𝑑
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑂′ 𝑍 
𝑌 
𝑑 
𝑎 
𝑏 
𝑍𝐺 
𝑌𝐺 
𝐺 ≡ 𝑂 
Polo 
𝑆𝐹
𝑧
𝐹
= 𝑦𝐺 
𝑂 𝑍 
𝑌 
𝑑 
𝑏 
𝑎 
𝑍′ 
𝑌′ 
𝐺 
𝑂′ 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑦′ 
Polo 
Expresión del momento de inercia polar 
respecto de 𝑂′ en función del correspondiente 
polo 𝑂. 
 
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4.0. EJES CONJUNGADOS Y EJES PRINCIPALES DE INERCIA. 
 
4.1. Momentos de 2° orden con respecto a ejes de un mismo origen 
 
Si giramos los ejes un mismo ángulo 𝛼 manteniéndolos ortogonales de modo que 
pasen a ocupar la posición 𝑧′, 𝑦′ , los momentos de segundo orden serán: 
 
 
 
𝐽𝑧′ = ∫ 𝑦′
2 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑦′ = ∫ 𝑧′
2 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ∫ 𝑧′𝑦′ 𝑑𝐹
𝐹
 
 
Las coordenadas de 𝑑𝐹 respecto a los nuevos ejes serán: 
 
𝑧′ = 𝑧 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼 
𝑦′ = 𝑦 cos 𝛼 − 𝑧 sin 𝛼 
 
Reemplazando los valores de 𝑧′ e 𝑦′ en las tres expresiones anteriores, se tiene: 
 
𝐽𝑦′ = ∫ 𝑧
2 cos² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑦2 sin² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 2 𝑧 cos 𝛼 𝑦 sin 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑦′ = 𝐽𝑦 cos² 𝛼 + 𝐽𝑧 sin² 𝛼 + 𝐽𝑧𝑦 sin 2𝛼 (1) 
 
𝐽𝑧′ = ∫ 𝑦
2 cos² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑧2 sin² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
− ∫ 2 𝑧 cos 𝛼 𝑦 sin 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧′ = 𝐽𝑧 cos² 𝛼 + 𝐽𝑦 sin² 𝛼 − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 (2) 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ∫ 𝑧 𝑦 cos² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
− ∫ 𝑧2 cos 𝛼 sin 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑦2 sin 𝛼 cos 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
− ∫ 𝑦 𝑧 sin² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 𝐽𝑧𝑦 cos² 𝛼 − 𝐽𝑦 cos 𝛼 sin 𝛼 + 𝐽𝑧 sin 𝛼 cos 𝛼 − 𝐽𝑦𝑧 sin² 2𝛼 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 𝐽𝑧𝑦(cos
2 𝛼 − sin2 𝛼) + sin 𝛼 cos 𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 𝐽𝑧𝑦 cos 2𝛼 +
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) sin 2𝛼 (3) 
 
𝑂 
𝑌 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑧 
𝑧′ 
𝑦′ 
𝑍′ 
𝑌′ 
𝛼 
𝛼 
𝛼 
𝑍 
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Las expresiones (1), (2) y (3) nos dan los momentos de 2° orden de la superficie 
respecto de los ejes ortogonales 𝑧′, 𝑦′ y en función de los correspondientes a los 
ejes 𝑧, 𝑦. 
Variando el ángulo 𝛼, variarán los momentos de 2° orden. 
 
- Momentos de inercia: nunca podrán anularse ni admitir valores 
negativos, pero sí alcanzarán valores máximos o mínimos. 
 
- Momentos centrífugos: admiten valores positivos, negativos y nulo. 
 
- Ejes conjugados de inercia: pares de ejes para los cuales el 
momento centrífugo se anula. Existen infinitos pares de ejes 
conjugados del mismo origen. 
 
- Ejes principales de inercia: par de ejes conjugados ortogonales. 
Para dicho par de ejes los momentos de inercia alcanzan valores 
máximos o mínimos. 
 
 
La expresión (2) nos da la variación de 𝐽𝑧 en función de 𝛼 y si consideramos 
𝐽𝑧 = 𝑓(𝛼) pasará por su máximo o su mínimo cuando: 
 
 
𝑑𝐽𝑧
𝑑𝛼
= 0 
 
 
 
 
Entonces, 
 
(
𝑑𝑧′
𝑑𝛼
)
𝛼=𝛼1
= −2 𝐽𝑧 cos 𝛼1 sin 𝛼1 + 2 𝐽𝑦 sin 𝛼1 cos 𝛼1 − 𝐽𝑧𝑦 cos 2𝛼1 
 
(𝐽𝑦 − 𝐽𝑧)2 sin 𝛼1 cos 𝛼1 − 2 cos 2𝛼1 𝐽𝑧𝑦 = 0 
 
(𝐽𝑦 − 𝐽𝑧) sin 2𝛼1 − 2 cos 2𝛼1 𝐽𝑧𝑦 = 0 
 
Dividimos ambos miembros por cos 2𝛼1 
 
(𝐽𝑦 − 𝐽𝑧) sin 2𝛼1
cos 2𝛼1
−
2 cos 2𝛼1
cos 2𝛼1
 𝐽𝑧𝑦 = 0 
 
(𝐽𝑦 − 𝐽𝑧) tan 2𝛼1 − 2 𝐽𝑧𝑦 = 0 
 
tan 2𝛼1 =
2 𝐽𝑧𝑦
(𝐽𝑦 − 𝐽𝑧)
 (4) 
 
𝑑 𝐽𝑧′′
𝑑 𝛼
> 0 → 𝑀Í𝑁𝐼𝑀𝑂 
𝑑 𝐽𝑧′′
𝑑 𝛼
< 0 → 𝑀Á𝑋𝐼𝑀𝑂 
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Existen dos valores de 2𝛼1 que satisfacen la ecuación (4) y difieren entre sí de 
180°, en consecuencia, hay dos valores de 𝛼1 que difiriendo de 90° también la 
satisfacen. 
Por lo tanto, para los ejes que corresponden dos valores de 𝛼1, que son 
ortogonales (90°), 𝐽𝑧 alcanzará el valor máximo para uno de ellos y el mínimo 
para el restante. 
Dichos ejes se denominan ejes principales de inercia y los momentos 
correspondientes son los momentos principales de inercia. 
Si reemplazamos el valor de 𝛼 que nos da el valor máximo o mínimo obtendremos 
el valor de los momentos principales. 
 
4.2. Momentos principales de inercia 
 
Teniendo en cuenta las expresiones y reemplazando en la ecuación (2): 
cos² 𝛼 =
1
2
 (1 + cos 2 𝛼) ; sin² 𝛼 =
1
2
 (1 − cos 2 𝛼) 
 
𝐽𝑧′ = 𝐽𝑧 
1
2
 (1 + cos 2 𝛼) + 𝐽𝑦 
1
2
 (1 − cos 2 𝛼) − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑧 cos 2 𝛼) + 
1
2
 (𝐽𝑦 − 𝐽𝑦 cos 2 𝛼) − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 𝐽𝑧 + 
1
2
 𝐽𝑧 cos 2 𝛼 + 
1
2
 𝐽𝑦 −
1
2
𝐽𝑦 cos 2 𝛼 − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 cos 2 𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
2
2
 
cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) − (1 − 
2 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) cos 2𝛼
) 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) − [1 − (− tan 2𝛼)(tan 2𝛼)] 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 cos 2𝛼 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)(1 + tan² 2𝛼) 
 
cos 2 𝛼 =
1
√1 + tan2 2𝛼
 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
1
√1 + tan2 2𝛼
(1 + tan² 2𝛼) 
 
 
 
 
tan 2𝛼 
2𝛼 
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Estabilidad I 
 
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𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
(1 + tan² 2𝛼)
√1 + tan2 2𝛼
 
√1 + tan2 2𝛼
√1 + tan2 2𝛼
 
 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
(1 + tan² 2𝛼) √1 + tan2 2𝛼
1 + tan2 2𝛼
 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) ±
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) √1 + tan
2 2𝛼 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) ±
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) √1 +
4 𝐽𝑦𝑧
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) ±
1
2
 
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) 
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) 
√(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2
 + 4 𝐽𝑦𝑧
2 
 
𝐽𝑧′ = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) ±
1
2
 √(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2
 + 4 𝐽𝑦𝑧
2 
 
𝐽𝑀𝐴𝑋 = 𝐽1 = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) +
1
2
 √(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2
 + 4 𝐽𝑦𝑧
2 
 
𝐽𝑀𝐼𝑁 = 𝐽2 = 
1
2
 (𝐽𝑧 + 𝐽𝑦) −
1
2
 √(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2
 + 4 𝐽𝑦𝑧
2 
 
Corresponden a los valores de los momentos principales de inercia. 
 
4.3. Pares de ejes para los cuales el momento centrífugo es máximo y 
mínimo 
 
Para ello igualamos a cero la primera derivada de la expresión (3): 
 
(
𝑑𝐽𝑧′𝑦′
𝑑𝛼
)
𝛼=𝛼2
= 0 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 𝐽𝑧𝑦 cos 2𝛼 +
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) sin 2𝛼 
 
(
𝑑𝐽𝑧′𝑦′
𝑑𝛼
)
𝛼=𝛼2
= −2 𝐽𝑧𝑦 sin 2𝛼2 +
2
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) cos 2𝛼2 = 0 
 
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) cos 2𝛼2 − 2 𝐽𝑧𝑦 sin 2𝛼2 = 0 
 
Dividimos ambos miembros por cos 2𝛼2 
 
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) − 2 𝐽𝑧𝑦 tan 2𝛼2 = 0 
 
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tan 2𝛼2 =
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
2 𝐽𝑧𝑦
 → tan 2𝛼2 = −
1
tan 2𝛼1
 
 
Expresión que se satisface para dos valores de 2𝛼 que difieren 180° y por ende, 
para valores de 𝛼 que difieren de 90°. 
(𝛼1 y 𝛼2) diferirán entre sí 45°, lo que implica que el par de ejes para los cuales el 
momento centrífugo es máximo o mínimo bisectará el ángulo que forman entre sí 
los ejes principales de inercia. 
 
Momento centrífugo máximo y mínimo 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 
𝐽𝑧𝑦
√1 + tan2 2𝛼
+
1
2 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) tan 2𝛼 
√1 + tan2 2𝛼
 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 
𝐽𝑧𝑦 +
1
2
 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) tan 2𝛼
√1 + tan2 2𝛼
 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = 
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼 +
1
2 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) tan 2𝛼
√1 + tan2 2𝛼
=
1
2 (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦) (
1
tan 2𝛼 + tan 2𝛼)
√1 + tan2 2𝛼
= 
 
𝐽𝑧′𝑦′ =
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼 (1 + tan² 2𝛼)
√1 + tan2 2𝛼
= 
 
𝐽𝑧′𝑦′ =
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼 (1 + tan² 2𝛼)
√1 + tan2 2𝛼
 
√1 + tan2 2𝛼
√1 + tan2 2𝛼
 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ±
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼 (1 + tan² 2𝛼)
(√1 + tan2 2𝛼)2 
 √1 + tan2 2𝛼 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ±
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼
 √1 + tan2 2𝛼 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ±
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼
 √1 +
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)²
(2 𝐽𝑧𝑦)²
= ±
1
2
(𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)
tan 2𝛼
 
1
2 𝐽𝑧𝑦
√4 𝐽𝑧𝑦
2 + (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)² 
 
𝐽𝑧′𝑦′ = ± 
 𝐽𝑧𝑦
2 𝐽𝑧𝑦
√4 𝐽𝑧𝑦
2 + (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)² 
 
 
 
 
 
tan 2𝛼 
2𝛼 
𝐽𝑧𝑦 
sin 2𝛼 = 
tan 2𝛼
√1 + tan2 2𝛼
 
 
cos 2𝛼 = 
1
√1 + tan2 2𝛼
 
 
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𝐽𝑧′𝑦′ = ± 
1
2
√4 𝐽𝑧𝑦
2 + (𝐽𝑧 − 𝐽𝑦)² 
 
 
Expresiones de los momentos centrífugos máximo y mínimo en función de los 
momentos de 2° orden respecto de un par de ejes ortogonales. 
Momentos de 2° orden respecto de ejes oblicuos. 
 
𝑦′ = 𝑦 cos 𝛼 − 𝑧 sin 𝛼 
𝑧′ = 𝑧 cos 𝛽 − 𝑦 sin 𝛽 
 
 
 
 
 
 
 
𝐽𝑢 = ∫ 𝑦′
2 𝑑𝐹
𝐹
 𝐽𝑣 = ∫ 𝑧′
2 𝑑𝐹
𝐹
 𝐽𝑢𝑣 = ∫ 𝑦′𝑧′ 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑢 = ∫ 𝑦
2 cos² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑧2 sin² 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
− 2 ∫ 𝑦 𝑧 sin 𝛼 cos 𝛼 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑢 = 𝐽𝑧 cos² 𝛼 + 𝐽𝑦 sin² 𝛼 − 𝐽𝑦𝑧 sin 2𝛼 
 
𝐽𝑣 = ∫ 𝑧
2 sin² 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑦2 cos² 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
− 2 ∫ 𝑧 𝑦 sin 𝛽 cos 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑣 = 𝐽𝑦 sin² 𝛽 + 𝐽𝑧 cos² 𝛽 − 𝐽𝑧𝑦 sin 2𝛽 
 
𝐽𝑢𝑣 = ∫ 𝑦 𝑧 cos 𝛼 sin 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
− ∫ 𝑦2 cos 𝛼 cos 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
− ∫ 𝑧2 sin 𝛼 sin 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
+ ∫ 𝑦 𝑧 sin 𝛼 cos 𝛽 𝑑𝐹
𝐹
 
 
𝐽𝑢𝑣 = 𝐽𝑦𝑧 cos 𝛼 sin 𝛽 − 𝐽𝑧 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝐽𝑦 sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝐽𝑦𝑧 sin 𝛼 cos 𝛽 
 
𝐽1,2 → 𝑀Á𝑋𝐼𝑀𝑂 
𝐽1,2 → 𝑀Í𝑁𝐼𝑀𝑂 
 
𝑍 
𝑌 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑧 
𝑧′ 
𝑦′ 𝑢 
𝑣 
𝛼 
𝛽 
𝛽 
𝛼 
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𝐽𝑢𝑣 = 𝐽𝑦𝑧(cos 𝛼 sin 𝛽 + sin 𝛼 cos 𝛽) − 𝐽𝑧 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝐽𝑦 sin 𝛼 sin 𝛽 
 
 
Direcciones conjugadas de U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐽𝑢𝑣 = 0 → tan 𝛽 
 
𝐽𝑦𝑧(cos 𝛼 sin 𝛽 + sin 𝛼 cos 𝛽) − 𝐽𝑧 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝐽𝑦 sin 𝛼 sin 𝛽 = 0 
 
Dividimos por (cos 𝛼 cos 𝛽) 
 
𝐽𝑦𝑧(cos 𝛼 sin 𝛽 + sin 𝛼 cos 𝛽)
(cos 𝛼 cos 𝛽)
−
𝐽𝑧 cos 𝛼 cos 𝛽
(cos 𝛼 cos 𝛽)
−
𝐽𝑦 sin 𝛼 sin 𝛽
(cos 𝛼 cos 𝛽)
= 0 
 
𝐽𝑦𝑧(tan 𝛽 + tan 𝛼) − 𝐽𝑧 − 𝐽𝑦 tan 𝛼 tan 𝛽 = 0 
 
𝐽𝑦𝑧 tan 𝛽 + 𝐽𝑦𝑧 tan 𝛼 − 𝐽𝑧 − 𝐽𝑦 tan 𝛼 tan 𝛽 = 0 
 
tan 𝛽 (𝐽𝑦𝑧 − 𝐽𝑦 tan 𝛼) + 𝐽𝑦𝑧 tan 𝛼 − 𝐽𝑧 = 0 
 
tan 𝛽 =
𝐽𝑧 − 𝐽𝑦𝑧 tan 𝛼
(𝐽𝑦𝑧 − 𝐽𝑦 tan 𝛼)
 
 
Expresión que define la dirección 𝛽, conjugado de 𝛼 
 
 
𝑍 
𝑌 
𝑑𝐹 
𝑦 
𝑧 
𝑢 
𝛼