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30 Estadística
Cuando se utilizan figuras de igual tamaño para reflejar la característica que se 
quiere representar, al gráfico estadístico, se denomina pictografía. En una 
pictografía el número de figuras en cada categoría o modalidad es proporcional a la 
frecuencia absoluta respectiva.
Existe otra gran variedad de gráficas o diagramas para mostrar datos ó para 
mostrar relaciones entre varios grupos de datos Aquí la imaginación del dibujante 
juegá un papel muy importante.
EJERCICIOS
Variables y Escalas
1. Cierta variable asigna a las unidades estadísticas E x y E 2 de una población los 
valores 5 y 20 respectivamente en una escala dada. ¿Qué puede decir acerca 
de E t y E 2 si la escala usada es:
a) nominal?, b) ordinal?, c) de razón?.
Rp. a) E , * E , , b) E t < E-, , c) 20/5=4. la medida de E.± es igual a 4 veces a la de E¡
2. Cierta variable asigna los valores 1, 4 y 9 a las unidades estadísticas E j, E 2 , E3
respectivamente en una escala de intervalos. Si en la misma escala se asigna 1 a 
E j y - 8 a E 2 , ¿qué valor se le asigna a E 3 ?. Rp. -23.
3. Al medir cierta característica en una población a las unidades estadísticas E x,
E 2 y £ 3 se Ies asigna los valores 2 , 5 y 17 respectivamente usando una escala 
A. En cambio, usando una escala B, se asignan los valores 5 y 29 a E 2 y E 3 
respectivamente.
a) ¿Podría afirmarse que A y B son la misma escala de razón?
b) ¿Qué podría afirmar sobre el valor de E i usando la escala B, si se sabe que
ambas escalas son nominales? , son ordinales?, son la misma de intervalo?.
Rp. a) No, 17/5*29/5. b) Nominal: cualquiera, *5 y *29, ordinal: <5, intervalo: -1 .
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Distribución de frecuencias 31
4. Sean x¡ = -1 , x 2 = 0, jr3 = 1. mediciones de una vanable X a tres elementos de
una población en una determinada escala. Suponga que son válidas las 
transformaciones:
i) Y = 2X - 5 , ii) Y = X 2 + 3
a) Si la escala es nominal, ¿están las mediciones transformadas también en 
escala nominal?
b) Si la escala es ordinal, ¿están las mediciones transformadas también en 
escala ordinal?
c) Si la escala es de intervalos, ¿están las mediciones transformadas en la 
misma escala de intervalos?
Rp a) i) Sí, ii) No, b) i) Si, ii) No, c) i) Si, ii) No.
5. Sean x, = 0 e y, = 3 2 dos valores asignados al mismo elemento para medir la 
temperatura, y, x 2 = 1 0 0 e y 2 = 2 1 2 dos valores asignados a la temperatura de 
otro elemento. Si los valores X (grados centígrados o Celsius) e Y (grados 
Fahrenheit) están en escala de intervalos, hallar la relación entre X e Y
Y = aX + b Rp. «=9/5. £>=32.
6 . Al medir cierta característica en una población, las escalas A y B asignan valores
x e _v a un mismo elemento. Si la relación entre los valores es
x . y = — + 4
3
,,Son ambas escalas A y B, a) de intervalos?, b) de razón?.
Rp. a) Si A es de intervalos, B lo es también, b) Si A es de razón. B no lo es.
7. Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que están medidas las 
siguientes características
- Profesión - Año de nacimiento
- Nacionalidad - Edad
Grado de instrucción - Estado civil
Numero de hijos - Ingreso mensual familiar promedio
- Número de teléfono - Número de DNI
- Dirección
Distribuciones de frecuencias
8 . Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo(B). medio (M), 
alto(A). 2 0 familias dieron las siguientes respuestas:
M, B, B, M. A, B, B, M, M, B, M, B, B, A, M, B, M, A, M, B.
Construir la distribución de frecuencias y trazar su gráfica.
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32 Estadística
9. Se revisaron 20 lotes de 48 artículos cada uno y se encontró el siguiente número
de artículos defectuosos por lote:
3, 2, 5,0, 1,3,2, 1,0, 1,3, 4, 2. 4. 4. 3, 4, 3. 2, 3.
Construir la distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas 
acumuladas. Graficar. ¿Qué porcentaje de lotes tienen dos o más pero menos de
4 artículos defectuosos?. Rp.50%.
10. Determinar los intervalos de la distribución de frecuencias en cada uno de los 
siguientes casos:
a) Datos enteros, X min = 10, X max = 50, y k = 8 intervalos.
b) Datos con dos decimales, = 2.55, X max = 3.86, y k = l .
c) Datos con tres decimales, X ^ = 0.282, X max = 0.655, y k = 6 .
Rp. a)A=5. bM=0.19,cM=0.063
11. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas 
empresas fueron:
31 17 27 20 28 10 34 25 4 24
15 39 18 30 41 26 12 46 18 23
36 19 29 37 33 27 27 24 26 31
25 28 33 28 22 23 31 29 35 21
a) Construir una distribución de frecuencias de 7 intervalos de clase.
b) Determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20
mil dólares. Rp. a) A = 6 . Frecuencias: 1. 3, 6 , 12, 11. 5. 2. b) 12.5%.
12. Se registra el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una 
tarea, resultando los siguientes:
21.3 15.8 18.4 22.7 19 6 15.8 26.4 17.3 11.2 23.9
26.8 22.7 18.0 20.5 11.0 18.5 23.0 24.6 20.1 16.2
08.3 21.9 12.3 22.3 13.4 17.9 12.2 13.4 15.1 19.1
a) Construir una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud y
a partir de ésta
b) Calcular el tiempo debajo del cual se encuentran el 25% de laa tareas.
Rp. ^ = 3.1. frecuencias: 3, 4. 5. 8 . 6 .4. b) 14.81
13. Las notas del examen parcial de matemática dieron la siguiente distribución de 
frecuencias
a> Completar la distribución de frecuencias,
b) Graficar la ojiva de porcentajes.
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Distribución de frecuencias 33
c) ¿Qué porcentaje de las notas se encuentran aproximadamente en el 
intervalo:[8 . 14],
Intervalo Marca de clase
Frecuencia
Relativa
Frec. relativa 
acumulada
0.15
[ 6 , [ 0.45
0.70
13.5
0 . 1 0
Rp. a) Xmin=3, A=3, frec.: 0 ’5. 0.30, 0.25. 0.20. 0.10, c) 48.3%.
14. La distribución de los tiempos, en minutos, que utilizaron 65 personas para 
realizar una prueba de aptitud aparece representada en el siguiente histograma. 
¿Qué porcentaje de las personas emplearon entre 9 y 11.5 minutos ?.
Rp. (15+20+6.5)/65=0.6385.
15
13
1 0
5
2
8 9 10 11 12 13 14
15. En una compañía, el sueldo mínimo y máximo de 200 empleados es de $150 y 
$300 respectivamente. Tales sueldos se tabular, en una distribución de 
frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Si se sabe que 20 empleados 
ganan al menos 150$, pero menos de $180, 60 ganan menos de 210$, 110 
ganan menos de $240, 180 ganan m em s de $270 y el 10% restante de 
empleados gana a lo más $ 300; reconstruir la distribución y graficar su 
polígono de frecuencias.
Rp. Xmm-150. /\=30, frec. absolutas:20, 40. 50, 70. 20.
16. La demanda diaria de azúcar (en decenas de kilos) recopilada durante ciento 
noventa días en un supermercado, se tabuló en una distribución de frecuencias 
simétrica de cinco intervalos de amplitud iguales a 4. Si la marca de clase del 
intervalo central es igual a 1 2 y si la curva de frecuencias absolutas satisface la 
relai ion:
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34 Estadística
f ( x ) = - ( x - 1 2 )2 + 7 0
reconstruir la distribución y graficar su histograma.
Rp- A'm¡„=2, frec. absolutas: 6, 54, 70, 54, 6.
17. Los tiempos de vida útil (en días) de un tipo de batería, se tabuló en una 
distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencias 
relativas acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00. Determine la distribución de 
frecuencias absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es 1 1 , si la 
segunda marca de clase es 6 , y si el límite inferior del cuarto intervalo es 1 2 .
Rp. A'ml„=(), A=4, n=20, frecuencias: 2, 3, 6, 5,4.
18. Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon 
en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud 
resultando: Ingreso mínimo $125, marca de clase del cuarto intervalo 
m 4 =$300. Si el 8 % de los ingresos son menores que $165 y el 70% de los
ingresos son menores a $275, ¿qué porcentaje de ingresos son superiores a 
$285?.
Rp. A=50, frecuencias 0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1, % de casos superiores a $285 es =0.26.
19. La organización del tiempo, en minutos, que tardaron 100 obreros para ejecutarcierta tarea, ha dado una tabla de frecuencias de cuatro intervalos de igual 
amplitud cuyo histograma correspondiente es simétrico. Si el intervalo 
/ , = [6, ? ] , la frecuencia absoluta: f 2 = 2 / , + 5 , y si se sabe que el 85% de 
los obreros demoran menos de 12 minutos Completar la distribución de 
frecuencias.
Rp Xm,„= 6, A=2, frec. relativas: 0.15, 0.35, 0.35 0 15,
20. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de 
frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Si se tienen: marcas de clase,
= 4 0 y m4 — 8 0 , frecuencias: hx = h^, hi = h5, h4 = 0 .25 , l h - h ^ - h x, 
/z3 = l i j+ 0 .1 0 ,y F(> = 60 , completar la distribución de trecuencias absolutas y 
graficar el polígono.
Rp Xm,„= 10, A- 20, frecuencias: 6, 9 12, 15 12, 6.
21. Las notas de un examen se tabularon en una distribución de frecuencias 
relativas de 3 intervalos de amplitud aguates a 5. Si la nota mínima es igual a 5. 
el 48% de las notas son menores que 12, y si el 80% de las notas L.or. interiores a
16, reconstruir la distribución de frecuencias.
Rp frecuencias 0 30, 0.45, y 0 25
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Distribución de frecuencias 35
22. El tiempo (en horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon
en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4, 
siendo; el tiempo mínimo de uso 2 horas, la primera y segunda frecuencias 
iguales al 10% y 15% del total de casos respectivamente. Si el 73.75% de las 
familias lo usaron menos de 17 horas y el 85% menos de 19 horas, determine 
las frecuencias. Rp. o. i o, o. 15, 0.30, 0.25, 0.20 o 12, 18 , 36, 30 24
23. Los salarios que ofrece una empresa a los practicantes varían entre $150 y 
270$. Si los salarios se agrupan en cuatro intervalos de clase de longitudes 
iguales de manera que el 40% de los practicantes tienen salarios menores o 
iguales que $195, el 80% tienen salarios menores o iguales que $225 y el 15% 
tiene salarios mayores que $232.50.
a) Hallar el porcentaje de practicantes en cada intervalo.
b) Si el ingreso mínimo se fija en $240 y la empresa aumenta una misma 
cantidad a todos los practicantes de modo que el 2 0 % supere el ingreso 
mínimo, ¿cuánto sería el aumento?.
Rp. a) frecuencias: 0.10, 0.60, 0.20, 0.10, b) $15.
24. El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon en una distribución
de frecuencias simétrica de 6 intervalos, siendo las frecuencias: f 2 = 25, 
Fi = 75 . F5 = 130. Si el límite inferior del sexto intervalo igual a 60, y si el 
75% de los consumos son mayores de 43.5m3, completar la distribución de 
frecuencias. Rp. X,„ln=35, /1=5. frecuencias: 20. 25, 30. 30, 25. 20.
Otras Gráficas
25. La siguiente tabla muestra la superficie (en millones de millas cuadradas) de los 
océanos.
Océano Pacífico Atlántico Indico Antártico Artico 
Superficie: 70 41 28 7 4
Identificar la variable, y represente los datos mediante dos gráficos diferentes.
Rp.gráfica: barras y circular
26. Construya una gráfica adecuada que permita comparar la predilección de los 
estudiantes por las carreras de ciencias en tres universidades si se tienen los 
siguientes datos.
Universidades Alumnos que pretieren ciencias Total de alumnos
A 300 6000
B 2 0 0 4000
C 180 7200
Rp graficar las frer Relativas 300/6000=0.05. 200/4000=0.05. 180/7200=0.025
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36 Estadística
27. Se ha clasificado a un grupo de personas de acuerdo a su ocupación y 
procedencia. La distribución resultó la siguiente.
Costa Sierra Selva
Agricultores 15 16 7
Mineros 5 9 4
Técnicos 13 8 2
Obreros 16 1 1 4
a) Haga un gráfico para representar la distribución de las personas por su 
ocupación.
b) Haga un gráfico para comparar la región de procedencia de las personas 
según su ocupación.
Rp. grafica a) barras totales, b) b a rr^ agrupada
28. El volumen de exportación de cobre, en miles de toneladas, durante el período 
95-99 se dan en la tabla que sigue. Trazar un gráfico para
Ano Gran minería Mediana minería Pequeña minería
1995 30 30 30
1996 50 50 30
1997 80 60 43
1998 60 40 42
1999 50 45 40
a) Mostrar la evolución de las exportaciones.
b) Ver el tipo de minería que determina principalmente la tendencia de las 
exportaciones.
c) Mostrar la proporción de cada tipo de minería respecto al total de 
exportaciones por año.
Rp. c) barras por partes componentes.
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Distribución de frecuencias 36-a
DIAGRAMA DE TALLO (o TRONCO) Y HOJAS
Es una técnica que se usa para organizar datos sin perder la identidad de cada 
dato observado, como sí ocurre en una distribución de frecuencias por intervalos.
El d.agrama de tallo y hojas se construye partiendo cada dato numérico en dos. 
El tallo que consiste del dígito o los dígitos iniciales y las hojas que consisten de 
los dígitos restantes del dato. Usualmente se eligen entre 5 y 20 tallos
Los tallos ordenados son ubicados en forma vertical. Las hojas ordenadas de 
cada tallo son ubicadas horizontal mente.
EJEMPLO
Con los siguientes datos (ingresos quincenales en dólares del ejemplo 1.3):
63 89 36 49 56 64 59 35 78
43 53 70 57 62 43 6 8 62 26
64 72 52 51 62 60 71 61 55
59 60 67 57 67 61 67 51 81
53 64 76 44 73 56 62 63 60
a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas.
b) Halle el porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52
c) ¿Cuál es el valor de en medio o central?
d) ¿Cuántos valores están entre 50 y 65?
SOLUCION.
a) Utilicemos el p rm er dígito de cada dato como tallo y el segundo como hoja. 
Para el número 63 por ejemplo, el tallo es 6 y la hoja es 3. Como el dato mínimo 
es 26 y el dato máximo es 89, entonces los tallos empiezan en 2 y terminan en 8 . 
Después de organizar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas resulta:
Tallo Hojas
2 6
3 56
4 3349
5 112335667799
6 000112222334447778
7 012368
8 19
b) El porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52 es (9/45)=0.2 o 20%.
c) El valor de en medio o central es: $61
d) Hay 26 valores entre 50 y 65
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36-b Estadística
E JE M PL O
Los siguientes datos representan el periodo de duración en meses de 32 baterías 
“DURA” doble A:
3.3 4.0 6 0 4.2 6 . 0 5.4 4.5
1.5 7.0 6.5 7.4 5.2 5.7 6 . 2
5.5 5.2 6 8 3.8 2.4 3.6
5.0 6 . 2 5.3 6.5 5.5 6 . 0
2 . 8 7.1 6.7 4.7 5.6 5.9
a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas.
b) ¿Cuál es el valor de en medio?
c) ¿Cuántas baterías duraron entre 2.9 y 5.8 meses?
SOLUCION.
a) Utilicemos dígito entero de cada dato como tallo y el dígito decimal como hoja. 
Para el número 5.2 por ejemplo, el tallo es 5 y la hoja es 2. Como el dato 
mínimo es 1.5 y el dato máximo es 7.4, entonces los tallos empiezan en 1 y 
terminan en 7.
Después de organizar todos datos, el diagrama de tallo y hojas resulta:
Tallo Hojas
1 5
2 48
3 368
4 0257
5 0223455679
6 000225578
7 014
b) El valor de en medio es: 5.5 meses
c) Hay 16 baterías que duraron entre 2.9 y 5.8 meses.
E JE M PL O
El siguiente es el diagrama de tallo y hojas de los valores (un entero y dos 
decimales) de una variable continua. El tronco consiste de un entero y un decimal:
Tallo Hojas
35 245
36 3567
37 34556889
38 0024455
39 358
a) ¿Cuántos datos se observaron?. Indique el mínimo y el máximo.
b) ¿Cuál es el valor del centro?
Rp. a) 25 datos, Min = 3.53, Max = 3.98, b) 3.78
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