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Teoría de la probabilidad 195
EJERCICIOS
1. si P(A) = 5/8, P(B) = 3 /4 y P{A/B) = 2 /3 , calcularp (a /B 1 ).
Rp. 1/?.
2. Si P(B) = 3/15, P(B/A) = 1 /5 ,y P(A n B) = l / \5 , calcular P ( A c ^ B l ).
Rp. 4/15.
"3. En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna 
enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años, y el 20% son menores de 30 años 
y sanos Si uno de tales loretanos es escogido al azar, ¿cuál es la probabilidad
a) de que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 30 años?.
b) de que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años?.
Rp.a) 12/120. b) U/36.
». De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores
que $200, 15 tienen créditos de al menos $500, y 110 tienen créditos menores de
4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 años y de 200 a menos
de $500, y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años.
a) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga crédito
menos de 4 años si tiene saldo de crédito de menos de $200?.
bi Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito,
¿cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de $500 o más?.
5 / />90Rp. a) 45/100, b) C, C, / C 2 .
5. En una encuesta de opinión se encontró que el 25% de los electores votarían por 
el candidato E. De los que no votarían por E el 20% son mujeres y el resto son 
hombres. Además la probabilidad de que un elector elegido al azar sea hombre 
es 0.70. Si se elige un elector al azar y resulta ser mujer, ¿cuál es la probabilidad 
de que no vote por E?
Rp. 0 .15/0.30
6 . Un comerciante recibe para su venta 80 objetos, 2/5 del proveedor A y el resto 
del proveedor B. El 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos. Si se 
hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan
a) ser de B, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso?.
b) tres defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos 
provengan de A?.
r p. a) i - ( c f - ¡ c f >, b> c \ c * c f / c f c f = c 24c f / c f
7. En horas de trabajo, una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras MI y 
M2, pero no operan simultáneamente. La probabilidad de que la primera
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196 Estadística
máquina se descomponga es 0.2. Si la primera máquina se descompone se 
enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3. ¿Qué 
probabilidad hay de que el sistema embotellador no esté funcionando en las 
horas de trabajo?.
Rp. M¡: falla máquina f:l,2, / ,(M i^M 2)= P(Mi)P(M 2/ Mi)=0.2x0.3=0.06
8 . En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5 
artículos al azar uno por uno si reposición, ¿cuál es la probabilidad de que al 
menos uno de estos sea de tipo A?.
Rp. P(al menos uno de tipo A)=l-P(ninguno de tipo A)=0.69
9. Sólo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta.
El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no 
probadas. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea 
escogida en el quinto intento. Rp. 0 .1
10. En una urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar 
una a una y sin reemplazo. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima 
extracción se considera un éxito. Hallar la probabilidad de obtener un éxito.
Rp. 1/2.
11. Se prueba un lote de 48 focos uno por uno (sin reposición). Si el lote contiene
dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se detecte 
en la tercera prueba? Rp. P(DiB2 D3)+ P(BiD2D,)=0.0018
12. La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2
contiene una bola roja y tres azules. Una bola es seleccionada aleatoriamente de 
la urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una bola es seleccionada al azar de la 
urna 2 y colocada en la urna 1. Si ahora una bola es seleccionada al azar de la 
urna 1, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja?. Rp. 9/20.
13. Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Se extrae al azar una
ficha de la urna y se reemplaza por una del otro tipo. Luego se saca de la urna 
una segunda ficha. Determinar el número de fichas blancas en la urna si se sabe 
que la probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0.5. Rp. 5
14. Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 
defectuosos, se toman dos objetos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos, 
se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote-, y si sólo uno es bueno 
se toman otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si 
alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la 
probabilidad de aceptar el lote.
Rp. 36/66 + (27/66)(44/45).
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Teoría de la probabilidad 197
15. S i/> 0 4 )= l/3 y P(A ^ B) = 11/21, calcular P(B)
a) si los eventos A y B son excluyentes.
b) si los eventos A y B son independientes. Rp. a) 4/21. t>) 2/7.
16. Sea el espacio muestral: Q. = {w,, w2, , wA}, donde,
P({ iv ,}) = 1/4, Pl {w2 }) = 1/4, P({w ,}) = l/4 , P({w4 }) = 1/4
Sean los eventos: A = {wt , w 2}, B = {w¡ ,Wj}, C = {w,, vr4 }. ¿Son los eventos 
A, B, y C independientes?.
Rp. no, pues no se verifica, P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
17. Pruebe que:
a) Si el evento B es independiente del evento A, entonces, A es independiente 
de B.
b) A y B son eventos independientes si y sólo si.
P ( A r \ B ) = P ( A ) P ( B )
c) Si A y B son eventos independientes, entonces, P t B / A ) = P ( B ¡ A 1 .
18. Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es p. El negocio se realiza dos 
veces de manera independiente. ¿Qué valor de p hace máxima la probabilidad
a) de obtener éxito una sola vez?
b) de obtener éxito al menos una vez?
Rp. a) Prob=2/?(l—/>). Prob. es máxima si p=l/2. b) 2p\ I-/))+/>'. es máximo, si p=\
19. Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de 
cualquier otro evento.
Rp. Si PiA)=0. de Ar,B<zA. P(Ar^B)=()=P(A)P(B). Si P(A)= I de P{B)=P[Ar£)+PiAcB).
PWr>BUP(B)=P(A)P{B), ya que m cf i ) < m c )=í).
20. Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es confiable 
en 98%. -Es decir identifica correctamente a un objeto como defectuosos o no 
defectuoso con una probabilidad de 0.98-. En un esfuerzo por reducir la 
probabilidad de error a cada objeto se somete a dos pruebas independientes
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuosos no pase ambas 
pruebas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de 
que no pase por lo menos una de las dos pruebas?
Rp a) 0.02x0.02, b) 0.98x0.02+0.02x0.98+0.98x0.98
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198 Estadística
21. Una urna contiene 10 objetos numerados de 1 a 10. Un juego consiste en sacar 
tales objetos y termina cuando sale el numerado con uno. ¿Cuál es la 
probabilidad de que el juego termine si se sacan al azar 5 objetos
a) a la vez?.
b) uno a uno sin reposición?.
c) uno a uno con reposición?. Rp. a) 0.5. b )0 .i, c )9 4/1 0 \
22. Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, 
B y C son respectivamente 0.4, 0.5, y 0.3. Cada televidente ve los programas 
independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes, 
¿qué probabilidad hay de que vea
a) dos de los tres programas?.
b) al menos uno de los tres programas?. Rp. a) 0.29. b> 0.79
23. En una oficina hay dos computadoras A y B que trabajan de manera 
independiente. Si en un momento cualquiera la probabilidad de que la máquina 
B esté en mal estado es 1/4 y la probabilidad de que sólo la máquina A esté en 
mal estado es 3/10, ¿cuál es la probabilidad de que sólo la máquina B esté en 
malas condiciones?. Rp. 3/20.
24. En los circuitos de la figuras que siguen, la probabilidad de que cada llave se 
cierre (pase corriente) es p, 0 < p < 1. Si todas las llaves se cierran o abren en 
forma independiente, calcular la probabilidad de que la corriente pasede E a S 
en a ) , y b).
a) E-
T
H h
— S b) E — |
1
i h
-II-
— S
Rp. a) p(l + p - p 2) , b) 2 p 3 - p 5 .
25. Un experimento se realiza tantas veces en forma independiente hasta obtener el 
primer éxito. Suponga que en cada intento la probabilidad de que se tenga éxito, 
es de 0.95 si se siguen correctamente las instrucciones; y es de 0.20 si no se 
siguen correctamente las instrucciones. Calcular la probabilidad de alcanzar el 
éxito en tres intentos a lo más
a) si se siguen correctamente las instrucciones cada vez,
b) si no se siguen correctamente las instrucciones cada vez.
Rp. a) 0.999875. b) 0.488.
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Teoría de la probabilidad 199
26. Calcular la probabilidad de que un mensaje de n (n > 1) dígitos binarios, (0,
y 1 ) sea incorrecto, si la probabilidad de recibir un dígito incorrecto es p y si los 
dígitos se reciben en forma independiente. Rp. l-(l-/>)".
27. Suponga que un sistema funciona si al menos una de sus componentes funciona.
Si las componentes trabajan independientemente y si la probabilidad que falle 
cada una es de 0 .0 1 , ¿cuántas componentes debería tener el sistema para que no 
falle con probabilidad de 0.9999?. Rp. 2.
- 8 . Una persona está expuesta a 1 riesgo en 100 ocasiones independientes. Si la 
probabilidad de que ocurra un accidente es 1 / 1 0 0 cada vez, hallar la 
probabilidad de que un accidente ocurra en una o más ocasiones.
Rp. I - (99/100) ' 00 = 1 - 0.366 = 0.634.
29. Un experimento aleatorio se repite sucesivamente 10 veces en forma 
independiente. En cada prueba la probabilidad de éxito es 1/4. Calcular la 
probabilidad de que ocurran 3 éxitos si el último intento debe ser un éxito.
Rp. C j (0.25)3 (0.75)7 .
30. -Respecto al partido de fútbol que protagonizarán los equipos A y 8 el próximo 
domingo, se piensa lo siguiente: De todas maneras se abrirá el marcador y 
cualquiera de los dos equipos tiene igual probabilidad de hacerlo. Si A anota el 
primer gol, la probabilidad de que el próximo también sea de A es 2/3 contra 
1/3 de que sea de B; en cambio si B es el que anota, primero el gol, habrá un 
segundo gol que puede ser con igual probabilidad para cualquier bando. Si el 
marcador llega a ponerse dos a cero a favor de cualquier equipo la 
desmoralización de uno y la apatía del otro impedirán que haya más goles; en 
cambio si llega a ponerse 1 - 1 , puede ocurrir tres cosas con iguales 
probabilidades: que A anote y gane 2-1, que B anote y gane 2-1 o que no haya 
más goles. Use un diagrama de árbol para calcular:
a) la probabilidad de que B gane.
b) la probabilidad de que B haya abierto el marcador dado que ganó el partido.
1 l l l l l i l 14 1 1 14
Rp. a) P(B eanej = —x —x —+ —x — i— x —x — = — , t>) (— i------ ) / —
2 3 3 2 2 2 2 3 36 4 12 36
21 Suponga que en cierta región del país la probabilidad de que un adulto mayor de
40 años tenga cáncer es 0.05. La probabilidad de que el diagnóstico sea correcto
es 0.80, y de que sea errado es 0.20. Si se elige al azar a una de esas personas 
calcular la probabilidad de que
a) se le diagnostique cáncer.
b) si se le diagnostica cáncer, tenga realmente tal enfermedad.
Rp. a) 0.23 b) 0.04/0.23 = 0 .1739.
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32. Ante una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas donde sólo una es la 
respuesta correcta, un examinado, puede saher la respuesta o no saberla o tener 
dudas. Si no sabe, marca al azar. Si duda, reduce las alternativas a 3 de las 
cuales una es la correcta y luego, responde al azar Si la probabilidad de que 
conozca la respuesta es 0.5, de que no conozca es 0.2 y de que aude es 0.3
a) Hallar la probabilidad de que acierte la pregunta.
b) Si acertó la pregunta, ¿que probabilidad hay de que no haya sabido la
repuesta? Rp a) 0 . 6 4 b) 0.04/0.64.
33. Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de
calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del 
fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de fabricación 
del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es 
permitido adquirir del fabricante B, el 70% la adquiere de A. Se inspecciona un 
embarque que acaba de llegar y se encuentra que es de calidad excepcional, 
¿cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A?. Rp. 0.42/0.69.
34. En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados
es 70% con probabilidad 0.35, 90% con probabilidad 0.25, y 60% con 
probabilidad 0.4. Si se selecciona al azar uno de tales objetos y si resulta no 
defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de calidad del 90% no 
defectuoso. Rp. 0.225/0.71.
35. El 100% de una población de electores se divide en tres estratos sociales 
excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase baja o media son el 90% 
del total, y la clase Ticdia o alta el 40% del total. De los primeros sondeos 
realizados para las próximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores 
que votarían por el candidato D puede ser:
30% de clase baja 50% de clase media 70% de clase alta
a) Si se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, ¿cuál es la 
probabilidad de que pertenezca a la clase alta?.
b) Si se escogen dos electores al azar, ¿qué probabilidad hay de que uno de
ellos vote por D?. Rp. a) 0 .175, b) o 48.
36. Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está 
bien ajustada en un periodo, el 80% de los objetos producidos pasan el control 
de calidad, de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el 90% de 
los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un 
solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad.
a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad?.
b) Si sólo 2 pasen el control de calidad ¿qué probabilidad se tiene que haya 
sido producido cuando la máquina trabaja en un periodo de buen ajuste?.
Rp. a) 960/2300. b) 855/960.
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Teoría de la probabilidad 201
37. El departamento de créditos de una tienda comercial afirma que según sus 
experiencias pasadas la probabilidad de que el 2 0 % de los clientes que compran 
por más de $50 es igual a 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de los 
clientes compren por más de $50 es igual a 0.7. Sin embargo al entrevistar a dos 
clientes al azar se encuentra que los dos compraron por más de $50. En base a 
este resultado, ¿qué modificación acerca de las probabilidades 0.3 y 0.7 deberá 
hacer la tienda comercial?.
Rp.D:2 compran por más de $50. P(20%)=0.3, í>(60%)=0.7. í>(D)=0.3(0.2)2+0.7(0.6)2= 
0.012+0.252=0.264. P(20%/D)=0.045, P(60%/D)=0.955
38. A un candidato le han indicado que obtendría el 60% de los votos con 
probabilidad 0.2, el 45% de los votos con probabilidad de 0.3 y el 70% de los 
votos con probabilidad 0.5. Después de preguntarle a 4 personas se obtiene que
2 de ellas votarían por el candidato. A la luz de este resultado, ¿cuál es la 
probabilidad de que el candidato obtenga el 60% de los votos?.
Rp. 0 . 2 C \ 0.620 4:+ 0.3 C j 0 4520.552+0.5 C \ 0.720.32=0.1095, 0.06912/0.10955=0.63.
39. Una agencia de publicidad observa que el 2% de los compradores potenciales de 
un producto ve su propaganda por periódico, el 2 0 % ve dicha propaganda por 
televisión y el 1 % ve los dos tipos de propaganda. Además de cada tres que ven 
la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la 
propaganda
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre dicho 
producto si no vio la propaganda?.
b) Si un comprador potencial compra el producto, ¿cuál es la probabilidad de 
que no haya visto la propaganda?
Rp a) 0.079/0.79=0.1, b) 0.21(l/3)+0.79(l/10)=0.149, y 0.079/0.149
40. Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para 
realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 
clientes en forma independiente es 0.3. Además la probabilidad de realizar el 
negocio es de 0.20 si llama un cliente,es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de
0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le llama no realiza el negocio.
a) calcular la probabilidad de que realice el negocio.
b) ¿cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente 
sabiendo que realizó el negocio?.
Rp. Si A¡: "llaman i clientes ", i = 0,1,2,3, entonces, P(A: ) = C15 (0.3)l (0.7)4'' 
Si B: "realiza negocio", P(B/A.) = 0, PÍ.B/A,) = 0.2, P(B/A¡) = 0.4, P(B/A,) = 0.8 
a)0+0.0882+0.0756+0.0216=0.1854, b) 1 pues es 0.0882/. 1854
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