U6 Ejercicio Integral curvilinea

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1_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas 
 𝑎) ∫ (1 + 2 𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 ; 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶:
 
 
Parametrizando con la variable “x”: 
i. El segmento que va del punto (0, 0) al (1, 1) 
 
𝐶 
𝑥 = 𝑥
𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 
= (1 + 2 𝑥) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 + 4 𝑥 𝑑𝑥 = 
= 𝑥 + 2 𝑥 |
1
𝑜
 = 3 
ii. El arco de la curva dado por 𝑦 = 𝑥 ; desde el punto (0, 0) al (1, 1) 
 
 
𝐶 
𝑥 = 𝑥
𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 2 𝑥 𝑑𝑥 
= (1 + 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑥 ) 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 4 𝑥 + 2 𝑥 𝑑𝑥 = 
= 𝑥 + 4 
𝑥
3
 + 
𝑥
2
1
𝑜
 = 
17
6
 
 
 𝑏) ∫
 
 
 ; siendo C una circunferencia de radio unitario y centro en el origen, en sentido 
antihorario (positivo según nuestra convención) 
Debido a la simetría parametrizamos con el ángulo “t” 
 
𝐶 
𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝜋
 
𝑑𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 
= − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑥
 
 = 0 
 
 
EJERCICIO 1C) 
𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 
Siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 
𝐶 = 
𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑦 ≥ 0
 𝐶 = 𝑦 = 𝑥
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
 𝐶 =
𝑦 = 8𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑦 ≥ 0
 
= + + 
 
Parametrizando las curvas resolviendo la integral curvilínea para cada una queda 
Curva 1 
𝐶 = 
𝑥 = 𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢
𝑦 = 𝑢 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢
0 ≤ 𝑢 ≤ 1
 
= 𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 = −𝑢 𝑑𝑢 = −
𝑢
3
1
0
= −
1
3
 
 
Curva 2 
𝐶 = 
𝑥 = 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑦 = 𝑢 𝑑𝑦 = 2𝑢 𝑑𝑢
1 ≤ 𝑢 ≤ 2
 
= 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑢
3
2
1
=
8
3
−
1
3
=
7
3
 
 
Curva 3 
𝐶 = 
𝑥 =
𝑢
8
 𝑑𝑥 =
1
4
𝑢 𝑑𝑢
𝑦 = 𝑢 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢
0 ≤ 𝑢 ≤ 4
 
=
𝑢
8
 𝑑𝑢 − 𝑢 
𝑢
4
 𝑑𝑢 = −
1
8
𝑢 𝑑𝑢 = −
𝑢
24
0
4
=
8
3
 
 
Curva 1 
Curva 2 
Curva 3 
Realizando la suma de cada una de las integrales curvilíneas queda 
= + + = −
1
3
+
7
3
+
8
3
=
14
3
 
 
EJERCICIO 1D) 
𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 
Siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 
 𝐶 =
𝑥 = 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 1
 𝐶 = 𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 
Desde el punto (1,0) al (1,-1) 
 
Curva 1 
𝐶 = 
𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 0
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
0 ≤ 𝑦 ≤ 1
 
= 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑦
2
1
0
=
1
2
 
 
Curva 2 
𝐶 = 
𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑑𝑦
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
−1 ≤ 𝑦 ≤ 1
 
Curva 1 
Curva 2 
(1,0) 
(1,-1) 
= 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦 = 
2
7
𝑦 +
𝑦
2
−1
1
= −
4
7
 
 
= + = 
1
2
 − 
4
7
= −
1
14