U7 primera parte (gradiente, divergencia y rotor)

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1_Calcular el gradiente del siguiente campo escalar 
𝑎) 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑧 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (1; −2; −1) 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = ∇. 𝑢 =
𝜕
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕
𝜕𝑦
 𝚥̆ +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘 . 𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 𝚥̆ +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 𝑘 = 
= 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ; 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 = (6 𝑥 𝑦; 3 𝑥 − 3 𝑦 𝑧 ; − 2 𝑦 𝑧) 
Vemos que todo campo escalar tiene en su dominio un campo vectorial asociado, ese campo se denomina 
campo gradiente. Si evaluamos en un punto dado, nos dará un vector en ese punto. Recordemos 
conceptos ya vistos. Su dirección es la de máxima variación del campo escalar y su módulo la tasa 
instantánea de variación del campo en esa dirección y sentido. 
∇𝑢 = (6 𝑥 𝑦; 3 𝑥 − 3 𝑦 𝑧 ; − 2 𝑦 𝑧)
𝑃
 = ( − 12; − 9; − 16) 
 
𝑏) 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑧 − 4 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (2; −2; 3) 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = ∇. 𝑢 =
𝜕
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕
𝜕𝑦
 𝚥̆ +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘 . 𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 𝚥̆ +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 𝑘 = 
= 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ; 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 = (2𝑥 𝑦 + 2𝑧; 𝑥 ; 2𝑥) 
∇𝑢 = (2𝑥 𝑦 + 2𝑧; 𝑥 ; 2𝑥)
𝑃
 = ( − 2; 4; 4) 
 Ejemplo para una función campo escalar de 3 variables 
𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
𝑔𝑟𝑎𝑑 �⃗� = ∇. 𝑧 =
𝜕
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕
𝜕𝑦
 𝚥̆ . 𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 𝚤̆ +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 𝚥̆ = 
= 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
; 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 = (2𝑥 ; 2𝑦) 
Analizamos el grafico y repasamos algunas de las propiedades y consideraciones ya vistas 
- El vector gradiente de una función campo escalar está definido en su dominio 
- Es perpendicular a las curvas de nivel 
- Es la dirección de máxima variación 
Para una curva de nivel z=1, en el dominio tenemos definida la ecuación 𝑥 + 𝑦 = 1 
Calculamos el gradiente para puntos diferentes que pertenecen a esa curva de nivel 
∇. 𝑧(1,0) = (2,0) 
∇. 𝑧(0,1) = (0,2) 
∇. 𝑧(−1,0) = (−2,0) 
∇. 𝑧(0, −1) = (0, −2) 
∇. 𝑧
√2
2
,
√2
2
= √2; √2 
∇. 𝑧 −
√2
2
,
√2
2
= −√2; √2 
∇. 𝑧
√2
2
, −
√2
2
= √2; −√2 
∇. 𝑧 −
√2
2
, −
√2
2
= −√2; −√2 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/3d/weku9dkk 
 
 
 
2_Calcular la divergencia del siguiente campo vectorial 
𝑎) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 𝑥 𝑧; − 𝑥 𝑦 𝑧; 3 𝑦 𝑧 ), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (1; −2; −1) 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = ∇. 𝑉 = 
𝜕
𝜕𝑥
; 
𝜕
𝜕𝑦
 ; 
𝜕
𝜕𝑧
 . (2 𝑥 𝑧; − 𝑥 𝑦 𝑧; 3 𝑦 𝑧 ) = 
= 4 𝑥 𝑧 − 2 𝑥 𝑦 𝑧 + 6 𝑦 𝑧 
∇. 𝑉 = 4 𝑥 𝑧 − 2 𝑥 𝑦 𝑧 + 6 𝑦 𝑧
𝑃
 = 4 
 
𝑏) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥𝑦 𝑧 ; 2𝑥 𝑦 ; 𝑥 𝑦𝑧), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (1; 2; 3) 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = ∇. 𝑉 = 
𝜕
𝜕𝑥
; 
𝜕
𝜕𝑦
 ; 
𝜕
𝜕𝑧
 . (3𝑥𝑦 𝑧 ; 2𝑥 𝑦 ; 𝑥 𝑦𝑧) = 
= 3𝑦 𝑧 + 6 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 
∇. 𝑉 = 3𝑦 𝑧 + 6 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦
𝑃
 = 54 + 24 + 2 = 80 
 
3_Hallar el rotor del siguiente campo vectorial 
𝑎) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦; 2 𝑥 𝑧; 2 𝑦 𝑧), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (7; 0; 7) 
 𝑟𝑜𝑡 𝑉 ⃗ = ∇ x 𝑉 =
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑧 2 𝑦 𝑧
= (2 𝑧 − 2 𝑥; 0; 2 𝑧 − 𝑥 ) 
 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 ⃗ = (2 𝑧 − 2 𝑥; 0; 2 𝑧 − 𝑥 )
𝑃
 = (0; 0; − 35) = − 35 𝑘
 
𝑏) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑧 ; −2𝑥 𝑦 𝑧; 2 𝑦 𝑧 ), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (0; 0; 1) 
 𝑟𝑜𝑡 𝑉 ⃗ = ∇ x 𝑉 =
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
𝑥 𝑧 −2𝑥 𝑦 𝑧 2 𝑦 𝑧
= (2𝑧 + 2𝑥 𝑦; 3𝑥𝑧 ; −4𝑥𝑦𝑧 ) 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 ⃗ = (2𝑧 + 2𝑥 𝑦; 3𝑥𝑧 ; −4𝑥𝑦𝑧 )
𝑃
 = (2; 0; 0) = 2 𝚤 ̆
Sentido de rotación horario