U7 Teorema de Stokes

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Ejercicios para aplicar Stokes 
 
17.-Calcular la circulación de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦, 2 𝑥, −1), a lo largo del cuadrado de vértices: 
𝐶: (0, 0, 3); (0, 1, 3); (1, 0, 3); (1, 1, 3) 
https://www.geogebra.org/3d/ggzjr7pn 
 
Siendo: 
 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 => ∮ = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ 
Aplicando el teorema de Stokes 
 por Stokes 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 = 
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦 2 𝑥 −1
 = (0; 0; 2 − 1) = (0; 0; 1) 
 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 = (0; 0; 1). (0; 0; 1) = 1 
 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = 1 
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 
18.-Calcular la circulación de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧 − 𝑥, 𝑥𝑦, 𝑧), alrededor de la curva borde de la superficie: 
 4 − 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 limitada por el plano 𝑧 = 2 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/aqnvnxky 
Aplicando el teorema de Stokes 
 por Stokes 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 = 
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑧 − 𝑥 𝑥 𝑦 𝑧
 = (0; 1; 𝑦) 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 = (0; 1; 𝑦). (0; 0; 1) = 𝑦 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = 𝑦 
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
 = 
Por coordenadas polares 0 ≤ 𝑟 ≤ √2
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
 
𝑟(𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
2√2
3
 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝜑 =
√ 2√2
3
 [−𝑐𝑜𝑠𝜑]
2𝜋
0
= 0 
 
19.-Calcular la circulación de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦, 2𝑥, −1), alrededor de la curva: 3 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 = 𝑦 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/kn69eve9 
Aplicando el teorema de Stokes 
 por Stokes 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 = 
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦 2𝑥 1
 = (0; 0; 1) 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 = (0; 0; 1). (0; −1; 1) = 1 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = 1 
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
 = 
Por coordenadas polares 0 ≤ 𝑟 ≤ √3
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
 
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
3
2
 𝑑𝜑 = 3𝜋
√
 
 
20.-Calcular el flujo del campo rotor de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦𝑧, 2𝑥 , 𝑧), a través de la superficie 4 = 𝑥 + 𝑦 
, (en el 1er octante), limitada por los planos cartesianos y el plano 𝑧 = 𝑥 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/3d/ftsenfqy 
Calculamos la integral curvilínea ∮ �⃗�. 𝑑𝑠 
Siendo: 
 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 => ∮ = ∫ + ∫ + ∫ 
Curva 1) 
𝐶 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜑
 𝑧 = 0 𝑑𝑧 = 0 
 
𝑑𝑥 = − 2𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 
 0 ≤ 𝜑 < 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 )𝑑𝑦 + (𝑧)𝑑𝑧 = 2(2 𝑐𝑜𝑠𝜑) 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 = 16 (𝑐𝑜𝑠𝜑) 𝑑𝜑 
= 16 𝑠𝑒𝑛𝜑 −
(𝑠𝑒𝑛 𝜑)
3
𝜋
2
0
=
32
3
 
Curva 2) 
𝐶 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝑥 = − 2𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝜑 
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑦 = 2 cos 𝜑 𝑑𝜑
 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝑧 = − 2𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝜑 
 0 ≤ 𝜑 < 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 )𝑑𝑦 + (𝑧)𝑑𝑧 = 
(8 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑) (−2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝜑) + (8𝑐𝑜𝑠 𝜑)(2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑) + (2𝑐𝑜𝑠𝜑)(−2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝜑) 
[−16 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 16 𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 4 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑] 𝑑𝜑 
= −16
𝜑
8
− 𝑠𝑒𝑛
4𝜑
32
0
𝜋
2
+ 16 𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑠𝑒𝑛 𝜑
3
0
𝜋
2
− 4
𝑠𝑒𝑛 𝜑
2
0
𝜋
2
= 𝜋 −
32
3
+ 2 
Curva 3) 
𝐶 
𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 0
𝑦 = 0 𝑑𝑦 = 0
 𝑧 = 𝑢 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢 
 0 ≤ 𝑢 < 2 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 )𝑑𝑦 + (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑢 𝑑𝑢 = − 2 
= + + =
32
3
+ 𝜋 −
32
3
+ 2 − 2 = 𝜋 
 
 
21)a) Verificar Stokes 
𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧 +
𝑦
3
; 𝑥 𝑧 − 
𝑥
3
; 𝑦) 
A través de: 𝜎: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ; 𝑧 ≤ 0 
 
 
 por Stokes 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
I.- Calculamos la integral doble. Tomamos 𝜎 porque parece más sencilla. 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 = 
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
𝑧 +
𝑦
3
 𝑥 𝑧 −
𝑥
3
 𝑦
 = (1 − 2 𝑥 𝑧; 3 𝑧 ; 𝑧 − 𝑥 − 𝑦 ) 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 = (1; 3 𝑧 ; 𝑧 − 𝑥 − 𝑦 ) . (0; 0; 1) = 𝑧 − 𝑥 − 𝑦 
Pasamos a polares: 
𝜎 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑧 = 0
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 ≤ 2 𝜋
 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = − 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝜑 𝑑𝑟 = − 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 = −
𝜋
2
 
 
II.- Calculamos la integral curvilínea ∮ �⃗�. 𝑑𝑠 
𝐶 
𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑦 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝜑
 𝑧 = 0 𝑑𝑧 = 0 
 
𝑑𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 
 0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋 
𝑉. 𝑑�⃗� =
𝑦
3
 𝑑𝑥 −
𝑥
3
 𝑑𝑦 = −
1
3
 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 = 
 
−
𝜋
2
 
Verifica: de ambas integrales llegamos al mismo resultado − 
Nota: de la tabla de integrales: 
351. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
 
 −
 
 
+
 
 
 
381. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
 
 +
 
 
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En resumen: 
Las tesis de los teoremas que vimos: 
Teorema de Green en el plano 
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
Teorema de Gauss o de la divergencia 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Teorema de Stokes o del rotor 
 
𝑉. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎