1 3 Trayectorias Ortogonales

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 1
Trayectorias ortogonales 
 
Ejercicio 4: Halle la ecuación de la familia ortogonal asociada a la familia de curvas dada. 
Represente ambas familias, en un mismo gráfico, para diferentes valores del parámetro c. 
 
2
2
) 2
) 
) 
) 1
a x y c
b y ax
c xy c
d cyx
 



 
 
) 2 esta ecuación corresponde a una familia de rectas de pendiente
1
 
2
 Hallamos la ED correspondiente a esta familia de rectas:
 Derivamos: 1 2 ' 0 ED
 Para hallar las 
a x y c
m
y
  
 
 
1
trayectorias ortogonales cambiamos ' por 
'
2
 1 0 y resolvemos esta nueva ED para obtener la familia de curvas ortogonales
'
2 2 2
 1 0 1 0 1 2
 2 
y
y
y
dx dx
dy dx
dy dy dy
dx
dy dx

 
        
   2 familia de curvas ortogonales, corresponde a una
 familia de rectas de pendiente 2
y x k
m
 
 
 
Gráficamente: 
 
y
x
0
2
x
y c  
2y x c 
 
 
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 2
2
2
2
) familia de parábolas. Despejamos el parámetrto : 
 Derivamos: ' 2 2
y
b y ax a a
x
y
y ax
x
 
  x
2
 ' ED de la familia de parábolas
1
 Para obtener la ED de la familia ortogonal, en esta ED cambiamos ' por 
'
1 2
 ' ED de la familia de T.O.
' 2
 Resolvemos esta ED
y
y
x
y
y
y x
y
y x y
  

     
 para hallar la familia de curvas ortogonales:
 2 2
2
dy x
ydy xdx
dx y
     
2
2
y 2 2 2 
2 2
x x
C y C     
 
 
Las curvas dadas son familias de parábolas con vértice en el origen, y las T.O. son familias de 
elipses centradas en el origen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3
) 
 Hallamos la ED de esta familia de curvas: ' 0 
1 1
 Reemplazamos ' por 0
' '
1
 0
'
 0 resolvemos esta ED para obtener la flia. de curvas orto
c xy c
y xy
y y x
y y
y x
y
dx
y x
dy

 
 
     
 
 
 
2 2
gonales
 
 2
2 2
dx
y x ydy xdx
dy
y x
ydy xdx K
  
     
2
2
y
2
2
2
x

2 2
2 2
2 
 
C
K y x C
x y C
   
  
 
 
Las curvas dadas son familias de hipérbolas centradas en el origen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 4
2 2
2
1
) 1 , o bien 
 Derivamos para hallar la ED de esta familia de curvas:
2
 ' 2 0 '
d cyx yx
c
y x
y x yx y
 
    
2x
2
2
 
1
 Para hallar la familia de trayectorias ortogonales reemplazamos ' por 
'
1 2
 ' 
' 2 2
 2 
 flia. de curvas ortogonales: hipérbolas
2
y
y
y x dy x
y
y x y dx y
ydy xdx
x
y c

      

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5
Ejercicio 5: Pruebe que la familia de parábolas  2 22 y cx c c R   es ortogonal a ella misma. 
 
Solución: 
 2 22 
Hallamos la ED de esta familia de parábolas, que será de primer orden:
2
y cx c c R  
' 2yy 
 
   
22
22 2
 Reemplazamos esta expresión de en la ecuación de la flia. de parábolas:
2 ' '
 2 ' ' 1 esta es la ED asociada a la flia. de parábolas
Para obtener la flia. de curvas ortogonales,
c c
y yy x yy
y yy x y y
 
 
   
     
   
2 2 2
2 2
2 2
2 22 2 2 2
1
 reemplazamos ' por :
'
1 1 2 2 '
2
' ' ' ' '
 ' 2 ' 2 ' ' 2 esta es la ED asociada a la flia.
ortogonal. 
Como las ED 1 y 2 son coincid
y
y
xy y xyy y
y y x y
y y y y y
y y xyy y y xyy y y

      
         
   
      
entes, ambas tendrán como solución general la misma
familia de curvas, que será la familia de curvas dada.