2 4 2 41 2 1 22 2 2 = − +− xx xy. xx xy. xx 'y hacemos: y = 1 + z 'z'y = reemplazando: ( ) ( ) ( ) 0 2 41411 2 2 = − +++−++ xx xz.xz'z operando y reagrupando: 0 2 444121 2 2 = − +−−−++ xx xxzxzzz'z ( ) 2 222 2 2 1 2 410 2 41 z. xx z. xx x'z xx zz.x'z − −= − −+= − +−+ −= =−= −− 2222 2 21 2 1 2 41 2 1 2 41 Ahora debemos resolver la ecuación diferencial lineal. ( ) ( ) ( ) xx eeeu xx xQ, xx xxP xxlnxxln dx. xx x − ==== − =−−= −−−−− −−− 2 1222 41 22 2 1 2 1 2 41 222 Alejandro E. García Venturini422 ( ) Cxdxdx. xx .xxv +== − −= 2 2 12 ( )Cx xx zw + − == − 2 1 2 1 Por lo tanto Cx xxz + −= 22 , que es la solución de la ecuación de Bernoulli. La solución de la ecuación de Riccati es: Cx Cx Cx xxy + =+ −+= 22 221 Envolvente Dado una familia de curvas planas se dice que una curva es la envolvente de dicha familia si ocurre que en cada uno de sus puntos es tangente a una curva de la familia dada. Ejemplo: a) si consideramos la familia de curvas ( )2axy −= , la envolvente es la recta y = 0. b) para la familia de curvas 22 2 yx xa + = , la envolvente es la recta x = 0. Cálculo de la envolvente Dada una familia simplemente infinita de curvas ( ) 0=C,y,xϕ para hallar la envolvente de dicha familia derivamos la ecuación respecto del parámetro C: ( ) 0=C,y,x' Cϕ . Entre y se elimina el parámetro C. Se llega así a una expresión del tipo ( ) 0=y,xF , que es la ecuación de la envolvente. Ecuaciones diferenciales de 1º orden 423 Teorema de existencia de la envolvente Dada la familia de curvas ( ) 0=C,y,xϕ , si en cada punto de estas curvas se verifica que 0≠" CCϕ y además 0≠" yC " xC ' y ' x ϕϕ ϕϕ , entonces existe la envolvente ( ) 0=y,xF . Ejemplos a) ( )2axy −= , primero vemos si existe la envolvente verificando el teorema. ( ) ( ) 02 02 12 ≠−= −− ax'y Se verifican las condiciones del teorema por lo tanto hay envolvente. Calculamos la envolvente: ( ) ( )−−= −= ax axy 20 122 ya leía los libros de Guillaume l'Hopital sobre cónicas y cálculo infinite- simal. Con tan sólo doce años de edad, Clairaut presentó una memoria sobre cuatro curvas de cuarto grado a la Academia de Ciencias de Paris, la cual, y tras haberse asegurado que era el autor verdadero, se deshizo en grandes elo- gios. Nació en París el 7 de mayo de 1713 y murió en la misma ciudad el 11 de mayo de 1765. Su padre, Jean-Baptiste, era maestro de matemáticas de París y miembro de la Academia de Berlín, lo que acredita su calidad como matemático. Con sólo dieciocho años, en 1731, publicó la obra Investigacio- nes sobre las curvas con doble curvatura, gracias a la cual fue admitido en la Academia de Ciencias, aunque hubo de hacerse una excepción con él, ya que el reglamento exigía una edad mínima de veinte años. En 1734 estudió la ecuación diferencial que lleva su nombre. eemplazando en la solución general: 422 22 xxx.xy −=−+−= 2) 'y x'yy 1+= derivamos: "y.'y'yx"y'y 2−−+= ( )20 −−= 'yx"y a) 0="y C'y = ∴ C Cxy 1+= S.G. b) 02 =− −'yx 2−= 'yx , reemplazando en la ecuación: 'y'y'y y 211 =+= Alejandro E. García Venturini426 formamos el sistema = = − 'y y 'yx 2 2 , es una solución singular en forma paramétri- ca. Pasamos a la forma cartesiana: 2 2 − = y x .xy 2= Verificamos ahora que esta función es la envolvente de la familia de funcio- nes C Cxy 1+= . Derivamos respecto del parámetro: x C C x 110 2 =−= . Reemplazando en la solución general: xxxxx. x y 21 =+=+= Observación: vemos que la solución general de la ecuación diferencial de Clairaut se obtiene reemplazando en la misma 'y por C. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES – Las trayectorias ortogonales Dos curvas son ortogonales si en un punto que pertenece a ambas sus rectas tangentes son perpendiculares entre sí. Si una curva es ortogonal a cada una de las curvas de una familia, se dice que es una trayectoria ortogonal de dicha familia. Si dos familias de curvas son tales que cada una de ellas es ortogonal a la otra familia, las familias son trayectorias mutuamente ortogonales. El cálculo de las trayectorias ortogonales correspondientes a una familia de curvas dadas requiere el planteo y resolución de ecuaciones diferenciales. Ejemplos 1) Sea la familia de curvas x Cy = , buscamos la familia de curvas ortogona- les a la misma. Ecuaciones diferenciales de 1º orden 427 x y x yxy x Cy −=−=−= 22 .'' . Como dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas, reem- plazamos la pendiente 'y por 'y 1− : =∴=−=− dx.xdy.ydx.xdy.y x y 'y 1 Cxy += 22 22 La familia de trayectorias ortogonales es: Kyx =− 22 Es decir que las trayectorias ortogonales son una familia de hipérbolas. 2) Sea la familia de circunferencias Cyx =+ 22 , buscamos la familia de curvas ortogonales a la misma. y xy yyx −==+ '0'22 . reemplazamos la pendiente 'y por 'y 1− : Cxlnyln x xd y yd x xd y yd y x 'y +==∴=−=− 1 La familia de trayectorias ortogonales es: y = K.x Es decir que las trayectorias ortogonales son una familia de rectas que pasan por el origen de coordenadas. Familia dada x.y = C Familia ortogonal x2–y2 = K El modelo de crecimiento-disminución exponencial Si consideramos el modelo de crecimiento exponencial, vemos que la pobla- ción crece según la ley: ( ) ta.CtP = , con a > 0. Si a > 1, el modelo es de crecimiento exponencial y si a < 1 el modelo es de disminución exponencial. El modelo malthusiano3 de crecimiento de una población supone que el cre