introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-222

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640 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
planta preferiría una prueba estadística rápida y fácil para determinar si una línea de pro-
ducción tiende a producir más fusibles defectuosos que la otra. Use la prueba del signo 
para probar la hipótesis apropiada.
Solución Para este experimento de diferencia pareada, x es el número de veces que 
la observación de la línea A excede la de la línea B en un día determinado. Si no hay 
diferencia en las distribuciones de fusibles defectuosos para las dos líneas, entonces p, 
la proporción de días en la que A excede a B, es .5, que es el valor hipotético en una 
prueba del parámetro binomial p. Valores muy pequeños o muy grandes de x, el número 
de veces que A excede de B, son contrarios a la hipótesis nula.
Como n � 10 y el valor hipotético de p es .5, la tabla 1 del apéndice I se puede usar 
para hallar el valor p exacto para la prueba de
H0 : p � .5 contra Ha : p 	 .5
El valor observado del estadístico de prueba, que es el número de signos “más” en la 
tabla, es x � 1, y el valor p se calcula como
valor p � 2P(x � 1) � 2(.011) � .022
El valor p más bien pequeño � .022 permite rechazar H0 al nivel de 5%. Hay evidencia 
significativa para indicar que el número de fusibles defectuosos no es el mismo para las 
dos líneas de producción; de hecho, la línea B produce más fusibles defectuosos que la 
A. En este ejemplo, la prueba del signo es una herramienta aproximada, fácil de calcu-
lar, para detectar líneas de producción con falla y funciona perfectamente bien para 
detectar una diferencia significativa usando sólo una cantidad mínima de información.
Aproximación normal para la prueba del signo
Cuando el número de pares n es grande, los valores críticos para el rechazo de H0 y los 
valores p aproximados se pueden hallar usando una aproximación normal a la distri-
bución de x, que se estudió en la sección 6.4. Debido a que la distribución binomial es 
perfectamente simétrica cuando p � .5, esta aproximación funciona muy bien, incluso 
para n de sólo 10.
Para n � 25, se puede efectuar la prueba del signo usando el estadístico z,
z � 
 x � np
 ______ 
 �
____
 npq 
 � x � .5n ______ 
.5 �
__
 n 
 
como el estadístico de prueba. Al usar z, se prueba la hipótesis nula p � .5 contra la 
alternativa p 	 .5 para una prueba de dos colas o contra la alternativa p � .5 (o p � .5) 
para una prueba de una cola. Las pruebas usan las conocidas regiones de rechazo del 
capítulo 9.
TABLA 15.6 
●
 Fusibles defectuosos de dos líneas de producción
Día Línea A Línea B Signo de diferencia
 1 170 201 �
 2 164 179 �
 3 140 159 �
 4 184 195 �
 5 174 177 �
 6 142 170 �
 7 191 183 �
 8 169 179 �
 9 161 170 �
10 200 212 �
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PRUEBA DEL SIGNO PARA MUESTRAS 
GRANDES: n W 25
1. La hipótesis nula: H0 : p � .5 (un tratamiento no se prefi ere a un segundo trata-
miento).
2. Hipótesis alternativa: Ha : p 	 .5, para una prueba de dos colas (nota: Usamos la 
prueba de dos colas como ejemplo. Muchos análisis podrían requerir una prueba 
de una cola.)
3. Estadístico de prueba: z � x � .5n ______ 
.5 �
__
 n 
 
4. Región de rechazo: Rechace H0 si z � za/2 o z � �za/2, donde za/2 es el valor z de 
la tabla 3 del apéndice I correspondiente a un área de a/2 en la cola superior 
de la distribución normal.
Un superintendente de producción dice que no hay diferencia entre los porcentajes de 
accidentes de empleados en turnos de día o de noche en una gran planta manufacturera. 
El número diario de accidentes se registran para los turnos de día y de noche durante n � 
100 días. Se encuentra que el número diario de accidentes en el turno de noche xe exce-
dió al número correspondiente de accidentes en el turno de día xD en 63 de los 100 días. 
¿Estos resultados dan sufi ciente evidencia para indicar que más accidentes tienden a 
ocurrir en un turno que en el otro, o bien, lo que es equivalente, que P(xE � xD) 	 1/2?
Solución Este estudio es un experimento de diferencia pareada, con n � 100 pares 
de observaciones correspondientes a los 100 días. Para probar la hipótesis nula de que las 
dos distribuciones de accidentes son idénticas, se puede usar el estadístico de prueba
z � x � .5n ______ 
.5 �
__
 n 
 
donde x es la cantidad de días en el que el número de accidentes en el turno de noche 
excedió al de accidentes en el turno de día. Entonces, para a � .05, se puede rechazar la 
hipótesis nula si z � 1.96 o z � �1.96. Sustituyendo en la fórmula para z, se obtiene
z � x � .5n ______ 
.5 �
__
 n 
 � 63 � (.5)(100) _____________ 
.5 �
____
 100 
 � 
1
5
3
 � 2.60
Como el valor calculado de z excede de za/2 � 1.96, se puede rechazar la hipótesis nula. 
Los datos dan suficiente evidencia para indicar una diferencia en las distribuciones del 
porcentaje de accidentes para el turno de día contra el de noche.
¿Cuándo debe usarse la prueba del signo en preferencia a la prueba t? Cuando se 
da sólo la dirección de la diferencia en la medición, sólo se puede usar la prueba del 
signo. Por el contrario, cuando los datos son cuantitativos y satisfacen las suposiciones 
de normalidad y varianza constante, debe usarse la prueba t pareada. Se puede usar una 
gráfica de probabilidad normal para evaluar normalidad, en tanto que una gráfica de los 
residuales (di � d�) puede revelar grandes desviaciones que podrían indicar una varianza 
que varía de un par a otro. Cuando haya dudas acerca de la validez de las suposiciones, 
los estadísticos recomiendan con frecuencia que se realicen ambas pruebas. Si las dos 
llegan a las mismas conclusiones, entonces los resultados de la prueba paramétrica pue-
den considerarse válidos.
E J E M P L O 15.4
 15.3 LA PRUEBA DEL SIGNO PARA UN EXPERIMENTO PAREADO ❍ 641
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642 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
 EJERCICIOS15.3
TÉCNICAS BÁSICAS
15.13 Supongamos que se desea usar la prueba del 
signo para probar Ha : p � .5 para un experimento 
de diferencia pareada con n � 25 pares.
a. Exprese la situación práctica que dicta la hipótesis 
alternativa dada.
b. Use la tabla 1 del apéndice I para hallar valores de a 
(a � .15) disponible para la prueba.
15.14 Repita las instrucciones del ejercicio 15.13 para 
Ha : p 	 .5.
15.15 Repita las instrucciones de los ejercicios 15.13 y 
15.14 para n � 10, 15 y 20.
15.16 Se realizó un experimento de diferencia 
pareada para comparar dos poblaciones. Los 
datos se muestran en la tabla siguiente. Use la prueba del 
signo para determinar si las distribuciones poblacionales 
son diferentes.
 Pares
Población 1 2 3 4 5 6 7
1 8.9 8.1 9.3 7.7 10.4 8.3 7.4
2 8.8 7.4 9.0 7.8 9.9 8.1 6.9
a. Exprese la hipótesis nula y alternativa para la prueba.
b. Determine una región de rechazo apropiada con 
a � .01.
c. Calcule el valor observado del estadístico de prueba.
d. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
que las poblaciones 1 y 2 son diferentes?
APLICACIONES
15.17 Valores de propiedades En el 
ejercicio 10.45 comparamos las evaluaciones 
de propiedades de dos asesores de impuestos, A y B. Sus 
evaluaciones para ocho propiedades se muestran en la 
tabla:
Propiedad Asesor A Asesor B
 1 76.3 75.1
 2 88.4 86.8
 3 80.2 77.3
 4 94.7 90.6
 5 68.7 69.1
 6 82.8 81.0
 7 76.1 75.3
 8 79.0 79.1
a. Use la prueba del signo para determinar si los datos 
presentan evidencia suficiente para indicar que uno 
de los asesores tiende a ser consistentemente más 
conservador que el otro; es decir, P(xA � xB) 	 1/2. 
Pruebe usando un valor de a cercano a .05. Encuentre 
el valor p para la prueba e interprete su valor.
b. El ejercicio 10.45 usa el estadístico t para probar 
la hipótesis nula de que no hay diferencia en las 
evaluaciones medias de propiedades entre los asesores 
A y B. Compruebela respuesta (en la sección de 
respuestas) para el ejercicio 10.45 y compárela con 
su respuesta al inciso a). ¿Concuerdan los resultados 
de la prueba? Explique por qué las respuestas son 
(o no son) consistentes.
15.18 Cocina de gourmet Dos gourmets, 
A y B, calificaron 22 comidas en una escala del 
1 al 10. Los datos se muestran en la tabla. ¿Los datos dan 
suficiente evidencia para indicar que uno de los gourmets 
tiende a dar calificaciones más altas que el otro? Pruebe 
usando la prueba del signo con un valor de a cercano a .05.
Comida A B Comida A B
 1 6 8 12 8 5
 2 4 5 13 4 2
 3 7 4 14 3 3
 4 8 7 15 6 8
 5 2 3 16 9 10
 6 7 4 17 9 8
 7 9 9 18 4 6
 8 7 8 19 4 3
 9 2 5 20 5 4
10 4 3 21 3 2
11 6 9 22 5 3
a. Use las tablas binomiales del apéndice I para hallar la 
región de rechazo exacta para la prueba.
b. Use el estadístico z de muestra grande. (nota: Aun 
cuando la aproximación de muestra grande se sugiere 
para n � 25, funciona bastante bien para valores de n 
hasta de sólo 15.)
c. Compare los resultados de los incisos a) y b).
15.19 Niveles de plomo en la sangre Un estudio 
publicado en la American Journal of Public Health 
(Science News), primera publicación en seguir los 
niveles de plomo en la sangre de aficionados al tiro al 
blanco con pistola, en polígonos de tiro bajo techo y que 
cumplen con la ley, documenta un riesgo significativo 
de envenenamiento por plomo.3 Se tomaron medicio-
nes de exposición al plomo a 17 miembros del grupo 
de entrenamiento de aplicación de la ley antes, durante 
y después de un periodo de 3 meses de instrucción de 
disparo en un polígono de tiro bajo techo y propiedad del 
estado. Ningún recluta tenía niveles elevados de plomo 
en la sangre antes del entrenamiento, pero 15 de los 17 
terminaron su entrenamiento con niveles de plomo en la 
sangre considerados “elevados” por la Agencia Europea 
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	15.3 La prueba del signo para un experimento pareado
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